高中数学教学中数学抽象的科学理解与操作办法

付平

[摘  要] 在高中数学教学中，数学抽象一直受到高度重视，甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素. 数学抽象的理解与操作有两关键：一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法. 对数学抽象的理解，必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区. 数学抽象的操作办法是：创设情境，激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具，对数学研究对象进行数学抽象;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征. 无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解，这样更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.

[关键词] 高中数学;数学抽象;理解;实践

当把数学研究的对象概括为空间形式和数量关系时，就意味着数学抽象在数学教学及其研究中有着不可轻视的基础性地位;也因此在高中数学教学中，数学抽象一直受到高度重视，甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素. 站在学生的角度看数学抽象，可以发现通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题. 由此可以看出，数学抽象对于学生的学习而言功能巨大. 既然数学抽象是如此的重要，那么在核心素养的背景之下，高中数学的数学抽象教学应当如何进行呢？回答这个问题，笔者以为有两关键：一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法. 本文就这两个重要的话题，谈谈笔者一些浅显的思考.

■数学抽象的科学理解

对数学抽象的理解，首先是建立在数学抽象的概念基础之上的. 认识“数学抽象”首先要认识“抽象”，两者之间是概念的隶属关系. 所谓抽象，通常是指人在认识不同事物的过程中，基于一定的标准去舍弃事物的个别、非本质的属性，并在此基础上抽取出事物的本质属性的过程和方法;相应的，数学抽象则是指人在研究事物的过程中，通过观察与比较、分析与综合，去除事物表象的、外部的、偶然的非数学的因素，并提出事物数学本质的、内在的、必然的数学关系. 在此过程中要从空间形式和数量关系两个角度去揭示、描述研究对象的数学本质和数学规律的研究方法. 无独有偶的是，史宁中教授定义为“数学是研究空间形式和数量关系的一门科学”，认为不管是现实世界中，还是思维想象中的“数量关系和空间形式”都属于数学研究的范畴，这表明数学抽象的基本特征是数量化和形式化. 对数学抽象的理解，笔者以为必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区.

强调辩证看待，意思是指数学学习内容一方面是抽象的，尤其是高中数学的知识体系，基本上都是数学抽象的结果，其直接表征方式都是抽象的数与形;另一方面，抽象的知识往往来自于形象的事物或者学生已经熟悉了的知识基础（其从形式的角度来看是抽象的，从学生认知熟悉程度的角度来看是形象的），在建立数学概念、规则或者规律的时候，往往都会经由数学抽象的过程. 因此对于高中学生而言，数学知识的学习过程，实际上是一个从形象走向抽象的过程，亦即数学抽象过程.

强调要避免一些认识上的误区，主要是为了避免“数学无用论”“数学抽象虚无论”. 在历史上曾经出现过“数学是数学家发明的一种脱离现实世界的思维游戏”这样的认识，本质上这种认识就是对数学抽象的错误理解，上面其实已经强调过：数学的形式是抽象的，但是数学知识的形成过程却是以形象事物与形象思维为基础的，抽象的数学知识最终也是运用于形象的生活事物的，因此数学抽象并不虚无.

■数学抽象的操作办法

有了上述理解，到了具体的高中数学教学中，数学抽象的教学以及作为核心素养要素的落地，就必须寻找正确的操作方法. 对于数学抽象的情境需要与操作思路之间，有研究认为，数学教学重要的任务之一就是让学生体验数学抽象的过程，而这就需要教师建立对数学抽象的准确理解，并设计教学让学生进入到数学抽象的情境之中. 在此基础上，笔者进一步总结出的数学抽象的操作方法是：创设情境，激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具，对数学研究对象进行数学抽象，这是一个纯化与创造、想象与推理的过程;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征，表征不只是简单的用数学语言描述自己的抽象结果，更多的是在数学抽象结果与数学语言之间寻找联系，这就需要以准确理解数学语言为基础，实际上就是需要以学生正确理解已有的数学概念或规律为基础. 来看一个例子：

在“向量”这一知识的教学中，常规的教学是给学生举出“既有大小又有方向的量”的例子，然后告诉学生“既有大小又有方向的量叫作向量”. 这样的教学在逻辑上看不出多大的问题，因为这些例子本质上是根据向量的定义反推出来的;而从学生建构数学概念的角度来看，这样的设计又过于线性，不能完全满足学生的认知需要. 基于数学抽象素养落地的教学，笔者以为向量概念的建构可以这样设计：

首先，创设情境，让学生进行比较，并形成数学抽象的动机.

既然向量描述的是既有大小又有方向的量，那么生活中就应该存在只有大小没有方向的量. 因此在创设情境的时候，可以将这两种类型的量一同提供给学生，比如物理中的力、位移、速度、功、功率、时间、某一事物的数量等，然后让学生去比较且进行分析，学生自然就可以从中提取出既有大小又有方向的量. 随后问题也就来了：为什么这些量既有大小又有方向？很显然，在描述这些量的特征的时候，方向这个要素就不可以回避，这个时候看力、速度等，就发现在生活中存在着一些事物需要同时从大小以及方向两个角度进行描述. 于是，数学抽象的大门也就打开了.

其次，运用数学的学科思维完成数学抽象.

对于向量而言，从大小与方向的生活认知到数学概念的建立，显然需要经历数学抽象的过程. 从数学思想方法的角度来看，向量其实是一个典型的数形结合的产物，当然这里的数与形已经是抽象后的产物. 需要指出的是，学生此时用的数学抽象实际上是强抽象，因为上述物理量或其他量学生虽然比较熟悉，但本身是比较抽象的，因此需要用强抽象来完成. 而且这里的抽象对象应当是包括向量和非向量的，学生通过抽象之后发现，有的量抽象的结果是只有“大小”，而有的则同时有“大小”和“方向”，这样也就完成了数学抽象.

再次，用数学语言表述数学抽象的结果并形成数学概念.

学生完成了数学抽象，也就意味着学生的数学思维已经迈过了一個重要的观察，即学生的思维当中已经有了抽象的结果. 有了这个结果之后，就必须进行输出，输出的过程就是用数学语言描述抽象结果的过程. 对于数学抽象而言，这个过程也非常重要，因为其涉及学生对数学概念的精确理解. 而且特别需要强调的是，这里所说的数学语言的运用不只是语言文字，根据笔者的经验，此时将语言文字与表象结合起来效果更佳，也就是说让学生在口中描述“既有大小又有方向的量”时，大脑里面还必须能够浮现出相应的数学图景——一根有向线段，线段的长短表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向. 这种图文并茂的方式才是准确的数学语言运用.

■数学抽象的教学思考

作为数学学科核心素养中最重要的要素之一，对数学抽象的教学奠定了数学教学的基础，数学抽象的过程与结果质量，决定了学生学习过程的质量. 作为高中数学教师，对数学抽象的重视以及深入研究是非常必要的，这其中需要思考的问题有很多，比如当教师认识到数学中必然存在数学抽象时，有没有思考过数学抽象的合理性呢？实际上早就有研究者指出，数学抽象的合理性是有所表现的：仅抽取事物对象量的关系和空间形式以及抽象的确定性，在数学教学中应注重贯彻这一特点的教学策略. 在上面的教学案例中，数学抽象的确定性体现在数学抽象结果的客观性上，生活中存在向量是客观的，用有向线段表示向量也是客观的. 认识到数学抽象结果的客观性，对于数学抽象核心素养的落地非常有益，因为它可以让学生认识到数学抽象的结果是真实可信的. 这种认识不是建立在“因为学习，所以可信”上，而是建立在自己的数学思维运用以及数学抽象素养落地的过程中的.

因此无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解，并在教学实践中求证自己的猜想，从而得以让数学抽象的教学更加具有科学性，更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.