浅谈高三复习备考的重要课型

丁书明

[摘  要] 文章主要介绍什么是微专题课，如何在高三复习阶段以微专题课型进行复习，并以“函数零点的个数的判断”为例分析微专题课的教学设计.

[关键词] 高中数学;微专题;高三复习

关于高三数学备考复习通常有第一轮的基础复习及第二轮的专题复习，但在第一轮复习过程中往往已经适时地插入了专题复习，因而在第二轮专题复习时会发现如果按照通常的专题进行复习会有重复但又不深入的感觉. 经过教学实践与思考，笔者总结出第二轮微专题复习方法，可以对一个重点内容或一类题型，或学生暴露出来的尚未掌握的知识点和难点进行精准复习“定向爆破”，实现有效教学. 那么什么是微专题课？如何設计微专题的主题和内容？

■微专题的含义

微专题首先体现在一个“微”字，相对于大专题而言，它可能是大专题的一个组成部分，它涉及的范围较小、内容较少，只是一个具体的问题，或者是一种题型，或者是一种方法. 再者微专题体现了一个“专”字，深入地分析一个特定问题的原理、难点、思路、解法等.

例如大专题《三角函数的图像与性质》，它的内容包括三角函数的图像、图像变换、三角函数的性质、三角函数性质的应用等内容，非常系统全面. 经过第一轮的复习这些内容大都复习过了，如果再漫无目的地讲就会重复，讲者无味听者浪费，此时可针对学生的薄弱环节设计一个微专题《三角函数中参数范围的求法》.

■微专题主题的确定

确定微专题课的主题应源自三“点”：高考热点、知识重点及学生弱点. 例如在复习必修一《函数的图像与性质》时，图像的变换非常重要，但学生只知变化套路不理解变化的原理，使得难以灵活应用，为此可以《函数图像的变化》为题设计一节微专题课探讨图像变化的原理、方法结论与应用. 再如高考考查热点之一“函数的零点”内容广泛、题型丰富、综合性强，为此我们可以将这一大块内容系统地分割为一个个的微专题，像《函数零点个数的判断》《与ex，lnx有关的函数零点问题求解》《隐零点问题》等等，化整为零，逐个突破.

设计专题结构时注重主题明确、例题典型，宜少而专，忌多而全.一般来说一个主题下因侧重点不同或难度梯度不同不超过三个例题，以经典问题为载体，回归问题的本源，展现一条清晰的主线，循序渐进，逐步深入需要解决的问题.

■微专题课例

下面本文将以《函数零点个数的判断》为例具体说明.

（一）教学过程

1. 注重基础，提炼方法

例1：思考下列问题，并总结处理函数零点问题的常用方法.

（1）判断函数f（x）=x2-3x-4的零点个数;

（2）求证函数f（x）=lnx+x-3有且仅有一个零点;

（3）偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的个数是（  ）？摇

A. 7B. 8  C. 9  D. 10

设计意图：这一组题目类型均为判断函数零点个数，题目较为基础但却可以充分揭示函数零点的本质：函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标，或者是f（x）=0的根.

题（1）可求方程x2-3x-4=0的根，或者画图判断.

题（2）有两种解法：

解法一：f（x）单调递增，且f（1）<0，f（e）>0，由函数零点的存在性定理判断该函数有且仅有一个零点;

解法二：转化为函数g（x）=lnx与h（x）= -x+3两个函数图像交点的横坐标.

题（3）可转化为函数f（x）与函数g（x）=lg（x+1）在区间[0，9]上交点个数.

一般地，对于形如函数f（x）=g（x）-h（x）的零点等价于方程g（x）-h（x）=0的根，进而等价于函数y=g（x）与y=h（x）图像的交点，我们称之为分离函数法.

引导学生讨论并归纳解题策略.

（1）求根：函数y=f（x）的零点等价于对应方程f（x）=0的根;

（2）零点的存在性定理判断;

（3）转化：运用等价变形将方程转化为两个函数图像的交点.

2. 加深理解，提升素养

例2：已知函数f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函数g（x）=f（x）-m有3个零点，求实数m的取值范围.

变式1：已知函数f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函数g（x）=f（x）-mx有2个零点，求实数m的取值范围.

变式2：将例2中g（x）的3个零点分别记为x■，x■，x■，求x■+x■+x■的取值范围.

变式3：已知函数f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函数g（x）=f（f（x））-m有3个零点，求实数m的取值范围.

思路分析：

（1）例2的问题等价转化为方程f（x）=m恰有3根，再进一步等价转化为函数f（x）的图像与直线y=m有3个交点，可由直线y=m“上下浮动”直观地看出m的取值范围.不仅如此，还可以设问恰有1个零点、2个零点等. 该方法做到了“参变分离”，我们称之为“分离参数法”. 变式1转化为函数f（x）的图像与直线y=mx有2个交点，可由直线y=mx绕原点转动满足条件时直线的起始位置及终止位置，从而求出m的取值范围.

（2）变式2深化了“零点即交点的横坐标”的转化，强化了数形结合思想的应用.

（3）变式3：设t=f（x），只需要研究方程f（t）=m和方程t=f（x）. 如当01的情况，综合得到m=0或m=1.

变式3题型可归纳为“复合函数”零点问题，本解法做了整体代换“f（t）=m”，我们称之为整体代换法.

设计意图：这一组题目类型均为根据函数的零点个数求参数的取值范围，采用了一题多变的形式，意在揭示根据零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图像与x轴的交点个数，或者转化为两个函数图像的公共点个数确定参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”.至此，求解函数零点的三种主要方法：图像法、分离函数法、参变分离法及整体代换法已引导学生探讨完毕，基本上达到了微专题的设计目的.

3. 动手实践，形成能力

例3：已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）.

（1）略;

（2）若函数g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有两个零点，求实数m的取值范围.

解法一：（圖像法）利用导数分析函数的单调性.

g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x2+m，则g′（x）=■-2x=■.

因为x∈■，e，所以由g′（x）=0，得x=1.

当■≤x<1时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增，当1

又g■=m-2-■，g（e）=m+2-e2，

所以g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有两个零点需满足条件

g（1）=m-1>0，g■=m-2-■≤0，解得1

故实数m的取值范围是1，2+■.

解法二：（分离函数法）

由g（x）=2lnx-x2+m=0，得2lnx=x2-m.

令函数h（x）=2lnx（x∈■，e），φ（x）=x2-m（x∈■，e），可等价转化为函数h（x）与φ（x）的图像恰有两个交点. （以下略）

解法三：（参变分离法）令g（x）=2lnx-x2+m=0，得m=x2-2lnx，可转化为函数h（x）=x2-2lnx，x∈■，e与直线y=m恰有两个交点. （以下略）

设计意图：紧扣本节课主题，难度略大于前两个例题，可一题多解. 课堂给予时间让学生亲自动手求解，达到检测训练的目的. 组织学生投影分享，发现问题并及时纠正，加深理解，形成能力.

■感悟

1.第二轮复习过程中穿插微专题，有助于突破一些重点、热点、难点问题，避免泛泛而谈，既节省了时间，又突破了学生的弱点，强化了高考热点和重点，使复习效果得以保证.

2.高三复习过程中经常要进行单元测试、综合测试及月考等，对于考试中学生暴露出的问题非常适合以微专题的形式进行试卷讲评，这样的试卷讲评课不求全而求专，以问题促成专题的生成，力求解决学生学习的真问题和实问题.

3.微专题教学可以激活知识，点燃数学思维的火花，联想解决问题的方法，通过变式教学可以从更高层面重构知识网络，跨越章节界限，对知识进行整合、串讲，将散乱的知识串联，达到融会贯通.