论数学猜想的学与教——以“运算律”的学与教为例

徐文彬

笔者有幸多次参与有关“运算律”的各级各类教学观摩活动，发现有一个问题必须解决，否则，它会影响我们对一些基本问题的看法，从而影响学生对相应数学知识的理解与把握，甚至更多。这个问题就是，究竟什么是数学猜想？

其实，这个问题的真实教学情境就是，在教授“加法交换律”或“乘法交换律”之后，教师一般都会引导学生提出所谓的关于“减法交换律”或“除法交换律”的猜想，然后通过学生的反例加以否定，从而得出“减法和除法没有交换律”的结论。

一、什么是数学猜想

一般而言，科学猜想是指针对“研究问题”，基于大量的“正面实例”，以及“得到证实”的学科知识或一般原理，与此同时还没有“反面实例”，所提出的有关“正面实例”的“有待证实”的一般性结论。

而数学猜想则是指针对“数学问题”，基于联想，通过（不完全或因果）归纳或类比，提出“有待证明”的一般性结论的思维过程。在这个思维过程中，联想是前提，试验与观察是基础，归纳与类比则是其提升（对试验和观察结果的跃迁），其结果便是“有待证明”的猜想（一般性结论）。之所以称这“一般性结论”为猜想，就是因为它“有待证实”或“有待证明”，而且提出“猜想”时还没有出现“反面实例”或“反例”。因此，数学猜想的提出就不能有“反例”的出现，而这也就要求猜想提出者在提出猜想之前，要有主观上努力寻求“反例”的试验和观察过程，而且没有收获任何“反例”。在提出猜想时，如果存在“反例”，就不应该也不能够提出相应的所谓“数学猜想”。否则，就是“随想”。

上述“真实的数学教学情境”主要存在以下两个方面的问题：一是明知有“反例”（譬如，学生在学习减法之初便已经知道“2-3 是行不通的”这类减法问题；学习除法时也已经晓得“4÷2与2÷4 是不可能相等的”这类除法问题），却硬要“引导”学生提出所谓的“减法交换律”或“除法交换律”的猜想；二是在教授“加法交换律”或“乘法交换律”时，缺少一个“引导学生主观上去寻求‘反例’而不得的学习、思维的活动过程”。

那么，我们应该如何来引导学生学习数学猜想呢？又应该怎样来教授数学猜想呢？下面，笔者仍然以“运算律”为例，来试着解决这两个问题。

二、如何学习数学猜想

就我国课程标准意义下的小学数学教材而言，“运算律”的学习内容一般都安排在四年级第二学期，其主要内容就是加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法（对加法的）分配律以及运算律的综合或灵活运用或应用。在具体的学习或教学安排上有这样两种处理方式：一是先学习或教学加法运算律（包括交换律和结合律），然后学习或教学乘法运算律（包括交换律和结合律），最后学习或教学乘法（对加法的）分配律；二是先学习或教学加法和乘法的交换律，然后学习或教学加法和乘法的结合律，最后学习或教学乘法（对加法的）分配律。

这两种处理方式各有利弊，应视具体教学情境加以选择、采用。第一种处理方式的优点是归类清晰——加法运算律、乘法运算律以及分配律（加法和乘法“联合”的运算律）。第二种处理方式的优点是依据“运算律”本身的特点对其进行分类——交换律、结合律以及分配律，同时还蕴含着“加法与乘法的类比”，但不够彻底。因为没有分配律上的“加法与乘法的类比”。尽管分配律上的这一类比不成立，但应该可以引导学生去思考这一问题，从“反面”来体会类比的方法论意义，即类比是“发现的逻辑”而非“证明的逻辑”。有待证明的发现可能是不正确的，有待确证；已经证明的发现则是正确无疑的，无须再证。

因此，无论选择、采用哪种处理方式，甚至是先后使用或者混合使用两种方式，我们都应以学生已有的算术四则运算经验为前提，激发学生的联想，引导他们充分展开对已有经验的分析与反思（都是如此吗？没有反例吗？确实都是如此，没有发现反例），并运用归纳或类比来提升其分析与反思的结果，从而使他们达成对分析与反思结果的跃迁，提出“运算律”的猜想。尽管对学生而言，提出的“运算律”都有待证明，但这一过程意义非凡。其实，对教师而言，可能也是大致如此，但这已无关宏旨！

三、怎样教学数学猜想

基于上述笔者结合“运算律”对数学猜想及其学习的分析与思考，笔者认为，“运算律”的教学可以从以下几个方面来构想或设计。

1.要有联想的前提：必要的积累。

如果没有任何相关的知识经验积累，也没有任何想象力，那么，所谓的联想是不会发生在任何人身上的（哪怕那个人是天才也无济于事，或者说只能算是一个随想而已）。事实上，在学习运算律之前，学生已经积累了大量的算术四则运算经验（若从小学一年级算起，至少有三年半的时间；若从幼儿园算起，就更长久了）。不仅如此，学生还学习了若干算术四则运算的法则（即运算法则，有的比较明确，有的比较隐晦）。更为重要的是，在学习算术四则运算及其运算法则时，尽管没有点明、道破，但学生已经在大量地运用运算律了。

其实，这是我们引导学生学习运算律时极佳的、学生已有的知识经验积累，不可不用，更不能无视。这里的关键问题是：应该如何运用？怎样运用才能用得更好？如何运用才能更有利于学生数学思维的培养和数学核心素养的提升？这就需要教师想方设法来激发学生的想象力，促动其联想机制，并引导其分析、反思他们所拥有的丰富的算术四则运算经验。而若要着眼于学生数学思维的培养和数学核心素养的提升，还必须把这五个“运算律”作为一个整体来加以考察。

2.要有试验、观察的基础：充分的过程。

试验和观察过程的充分展开是指针对所面临的数学问题（譬如，如何总结、概括出算术四则运算的“运算律”？），我们要充分对其进行试验与观察（此前，尽管学生已有大量算术四则运算的知识经验，但没有针对“运算律”的试验与观察），并在此基础上不断进行总结和概括。

譬如，在指导学生学习（加法和乘法的）交换律时，教师可以引导学生思考这样一些问题：（1）如果我们班每一位同学都任意取两个数，并把它们加（或乘）起来，那么，针对大家所取的那两个数，每个人最多能写出几个不同的算式？（2）如果不计算（当然，也不需要心算），你知道运算结果是一样的或相等的吗？（3）如果把全班同学所列举的所有情况都“放在一起”，你能总结、概括出什么样的一般性结论呢？（其实，我们早就已经在运用交换律了）（4）为什么？（加法或乘法的意义）（可以视教学的具体情况来确定先提出第三个问题还是第四个问题，第三个问题意在指向不完全归纳；第四个问题则意在指向因果归纳，可能还有类比——加法和乘法的类比）

类似地，在指导学生学习（加法和乘法的）结合律时，教师可以引导学生思考这样一些问题：（1）如果我们班每一位同学都任意取三个数，并把它们加（或乘）起来，那么，针对大家所取的那三个数，每个人最多能写出几个不同的算式？（2）如果不计算（当然，也不需要心算），你知道运算结果是一样的或相等的吗？（3）如果把全班同学所列举的所有情况都“放在一起”，你能总结、概括出什么样的一般性结论呢？（其实，我们早就已经在运用交换律和结合律的“导出规律”了，为什么我们不把这“导出规律”也赋予一个“专名”呢？其实，这体现了数学的简洁之美，因为这里的“导出规律”内含了交换律和结合律，所以，我们需要把交换律从中请出去，而只留下结合律）（4）为什么？（可以视教学的具体情况来确定先提出第三个问题还是第四个问题，第三个问题意在指向不完全归纳；第四个问题则意在指向因果归纳，可能还有类比——加法和乘法的类比）

而在指导学生学习（乘法对加法的）分配律时，我们可以引导学生思考这样一系列问题：（1）如何把“两位数乘一位数”“三位数乘一位数”等的竖式计算转换为横式计算呢？（2）如何把“两位数乘两位数”“三位数乘两位数”等的竖式计算转换为横式计算呢？（3）如何把“任何”乘法竖式计算转化为横式计算呢？（4）你能总结、概括出一般性的结论吗？（其实，我们早就已经在运用分配律了）（5）为什么？（可以视教学的具体情况来确定先提出第四个问题还是第五个问题，第四个问题意在指向不完全归纳；第五个问题则意在指向因果归纳，可能还有类比——加法和乘法的类比，尽管这个类比在此处不成立，但那又是为什么呢？）

3.要有归纳或类比的运用：必要的跃迁。

当我们在总结、概括一般性结论时，其实就已经在运用归纳或类比了。如果所总结、概括出的“一般性结论”只局限于我们所列举的大量实例（其实，这里只有完全归纳，或者“对应类比”），那么，我们就必须再次运用归纳或类比，把这“一般性结论”推广到更为一般的情况。因此，这里就需要有一个“自我否定的再否定”的思维活动过程，即继续追问：有反例吗？再试验，再观察，反复多次，以致求反例而不得。所以，我们（此时或暂时）就可以提出诸“运算律”的猜想了。

即便我们总结、概括出的“一般性结论”已经超越了我们所列举的大量实例，也还是需要有一个“求反例而不得”的“自我否定的再否定”的思维活动过程。这就是“科学的质疑精神”在数学猜想中具体而生动的体现。

此外，在“运算律”的教学中，教师还应在自己先弄明白“运算律和运算法则之间的关系”的基础上，引导学生思考两者之间的关系，以进一步理解运算的意义、运算的规律（即运算律）和运算的法则（即运算法则）三者之间的内在关系（譬如，就逻辑关系而言，这三者之间是什么蕴涵顺序？就学习顺序而言，这三者之间又是什么前后关系？这种逻辑关系和学习顺序是否一致？无论一致与否，这种学习顺序安排背后的道理是什么？），培养其数学的思维方式，进而逐步提升教师和学生的数学核心素养。