浸润数学文化 发展核心素养

王开林

(江苏省淮安市淮海中学 223300)

1 引言

数学是一门科学，数学也是一种文化．数学教育是数学文化的教育，数学知识的传授也是一种文化的传承．数学教育的目的不仅仅要让学生理解数学知识，掌握基本技能，感悟数学思想，积累数学活动经验；还应让学生学会关注数学的本质，了解数学的发展进程，体会数学家的创新精神，欣赏数学的美妙，形成数学式的理性思维，养成严谨求真、实事求是、锲而不舍的科学精神，自觉接受数学文化的熏陶，感受数学的无穷魅力．《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出，数学文化应融入数学教学活动.在教学活动中，教师应当有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和文化素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养．虽然数学教育界对重视数学的文化价值已达成共识，但在教学实践中，相当一部分的一线数学教师还不能充分认识到数学文化渗透的重要性，不能深刻理解教学内容的文化内涵，也往往在技术操作层面感到茫然，无从入手，不可避免地造成数学文化在数学课堂教学中的缺失．笔者在江苏省中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动中开设一节《函数的奇偶性》的研究课，在浸润数学文化、发展核心素养方面做了一些尝试和探索，下面结合这节课谈谈个人的认识和体会.

2 教学实录

2.1 创设情境、提出问题

展示图片

师：很高兴来到远近闻名的木渎中学和同学们一起研究数学，今天一进校门，我就被校园美景深深的吸引，学校的大门和我们平常看到美丽的蝴蝶，六角形的雪花晶体……，都具有一个共同的特征——对称，对称是大自然的一种美，数学中也有对称美，希望同学们都拥有一双发现数学美的慧眼.我们初中学过哪几种对称？

众生：轴对称、中心对称．

师：能不能列举一些图象具有对称性的具体函数？

生1：f(x)=x-1，f(x)=x，f(x)=x2

类似的，我们借助几何画板再画出一些函数的图象，如f(x)=x-2，f(x)=x3，f(x)=x4

评析通过创设情境让学生体会到数学来源于生活，与自然和社会生活密切相联．通过联系生活实际，注重从学生知识背景中寻找关联点来激发学生学习兴趣，学生在体味数学的美——对称美、简约美、和谐美、奇异美中，接受美的熏陶．

活动1：观察这些函数的图象，请根据它们的特点给这些函数分类，并说说你的依据？

生2：函数f(x)=x2，f(x)=x-2，f(x)=x4的图象都关于y轴对称；f(x)=x-1，f(x)=x，f(x)=x3的图象都关于原点中心对称．

师：分别给这两类函数起个什么名字比较好？

生3：偶函数，指数都是偶数；奇函数，指数都是奇数.

师：同学们很了不起，1727年瑞士数学家欧拉首次提出偶函数与奇函数的概念时，就是根据指数的奇偶特点来定义的，有兴趣的同学课后可查阅相关资料做进一步的研究．这样来定义有他的局限性，后来数学家们将概念进行了推广， 才得到了今天奇函数和偶函数的定义．

引出课题：今天我们就一起来研究函数的奇偶性.

评析数学家由指数的奇偶特点来定义概念的思维方式，自然而然，有其合理性．教学中适当穿插数学史的知识，让学生了解函数奇偶性概念的发展历程，认识到人类理解数学概念具有“渐进性”，感受数学家研究问题的思维方式，增强学好数学的自信．

2.2 探究发现、建构概念

生4：是否可以考虑从代数的角度来研究．在研究函数单调性时，我们就是先从几个特殊函数的图象开始，通过对函数图象的观察，从直观上体验到函数图象的上升或下降，再进一步从数的角度给出函数单调性定义.我们可以用同样的方法来研究函数的奇偶性.

评析在基于学生的认知基础上，通过紧贴学生最近发展区的举例引起学生的认知冲突，激起学生探究新知的好奇心．教学生学会学习，重要的是对学生学习进行方法引领，让学生学会研究数学概念的方式，如从特殊到一般，数形结合，类比学习等，以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，实现对新概念的意义建构．

活动2：怎样用数量关系来刻画函数图象这种对称性？

师：我们以f(x)=x2为例，它的图象关于y轴对称，怎么样用数量关系来刻画？请同学们注意观察，你有什么发现？(几何画板演示图象上任意一点在运动，其关于y轴的对称点随之运动)

生5：当自变量互为相反数时，函数值相等.(文字语言)

生6：f(-1.5)=f(1.5)，f(-2.3)=f(2.3)……

师：能用更一般性的式子来表示吗？

生6：f(-x)=f(x)(符号语言)

师：如图，推广到图象关于y轴对称的一般函数f(x)呢？

生6：对函数f(x)定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x).

追问：若对函数f(x)定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么其图象关于y轴对称吗？

学生在沉思，稍等片刻后．

师：如何说明一个函数的图象关于y轴对称？

生7：函数图象上的任意一点关于y轴对称的点也在这个函数图像上.

生8：对函数f(x)定义域内任意的x，对应着图象上一点P(x,f(x))，点P(x,f(x))关于y轴对称的点P1(-x,f(x))，函数f(x)的图象上横坐标为-x的点Q(-x,f(-x))，因为f(-x)=f(x)，所以P1与Q两点重合，即图象上任意一点P(x,f(x))关于y轴对称的点也在这个函数图象上．

评析培养学生主动探究，善于抓住问题的数学本质，并能够熟练地用准确、简明、规范的文字语言、数学符号语言、图形语言表述研究对象的特征．让学生经历概念的建构过程，学生在理解数学的同时，在思维品质、问题解决能力、意志品质等方面得到发展，丰富了学生的文化底蕴．

定义：设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.

根据偶函数的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.

师：怎么理解这里的的“任意”一词？改为“存在”是否可以？改为“无数”呢?

生9：不可以，都不能保证定义域中的每一个x，所有的x，满足f(-x)=f(x).

活动3：类比偶函数，你能给出奇函数的定义吗，奇函数具有什么样的性质？

学生分组讨论，合作探究，交流展示.

生10：图象关于原点对称的函数f(x)，对定义域内任意的x，都有f(-x)=-f(x)

生11：若对函数f(x)定义域内任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则函数图象关于原点对称.

定义：设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.

奇函数的图象关于原点对称，反之也成立.

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.

师：定义中的“任意”就是“所有”，奇偶性反映的是函数的整体性质，而单调性定义中的x是属于定义域的某一子区间，单调性反映的可能是某函数的局部性质，也可能是整体性质.

师：函数刻画的是两个变量之间的关系，研究函数自然要关心一个变量随着另一个变量的变化怎样变化(或者不变)这个特点.当自变量的值增大时，相应的函数值是增大还是减少？——单调性；当自变量变号，成为相反数时，相应的函数值怎么变化？也变成相反数吗？——函数的奇偶性.

评析类比学习是一种重要的学习方式，通过类比研究函数的单调性去研究奇偶性，类比偶函数去探究奇函数．从整体上把握函数的性质，即函数值随着自变量的变化规律，为后面学习函数的周期性奠定基础．

练习1对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是

(1)若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2)；

(2)若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数；

(3)若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；

(4)若f(-2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数.

生12：根据偶函数定义得(1)正确；仅有f(-2)=f(2)，不能保证函数f(x)是偶函数，(2)错误；要否定函数具有奇偶性，只需一个反例，(3)正确；

生12：对于第(4)小题，若f(-2)=f(2)=0，则f(-2)=0=-f(2)，f(x)可能是奇函数；

生13：若f(-2)=f(2)=0，则函数f(x)的图象可能关于原点对称，f(x)可能是奇函数，(4)错误.

评析这里用一个概念辨析题来进一步巩固加深学生对新学概念内涵与外延的理解，同时也有效地培养学生的思辨能力，这也是学生终生学习，可持续发展的重要素质．如否定一个命题，只需一个反例即可，而要保证命题正确，则需充分考虑各种情形；再如学会从数与形两个角度去分析与判断、反复求证等．

练习2你能举出几个具有奇偶性的函数例子吗？

生14：f(x)=2|x|，f(x)=-x3……

在学生举出的具有奇偶性的函数例子后面加上定义域x∈[-2,3]予以追问.

生14：不具有奇偶性，图象不关于y轴或原点对称，也不满足奇函数或偶函数的定义，如f(-3)无意义.

活动4：具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？

生15：因为具有奇偶性的函数的图象具有对称性，所以其定义域关于数“0”对称.

生16：因为函数的奇偶性是考察f(-x)与f(x)的关系，所以f(-x)与f(x)都有意义，-x与x都应在函数定义域内，-x与x是关于数“0”对称，所以定义域关于数“0”对称是函数具有奇偶性的前提条件.

评析由于前面概念教学过程中学生充分参与概念建构的过程，对奇偶函数定义域的特点问题解决就水到渠成．课堂上适时的追问引领学生进一步探究问题的本质，培养学生执着的刨根究底的科学精神．有助于学生逐步形成精益求精、凡事追求完美的习惯和风格．

2.3 应用数学、深化理解

例1判定下列函数是否为偶函数或奇函数.

(1)f(x)=x2-1；

(3)f(x)=(x-1)2.

师：能不能迅速判断这几个函数的奇偶性？

生17：函数f(x)=x2-1的图象是关于y轴对称的抛物线，所以是偶函数；

函数f(x)=(x-1)2的图像是关于x=1对称的抛物线，既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以既不是偶函数，也不是奇函数.

师：刚才同学是根据这些函数图象的对称性来判断奇偶性，还可以怎么判断？

生18：也可以根据定义.略.

小结：判断函数奇偶性的三个步骤：

一看：看定义域是否关于数0对称，(若不关于数0对称，则非奇非偶).

二验：验证f(-x)与f(x)的关系，(相等还是相反)

三定：定结论.(四种可能)

生19: 对(3)，可以用定义正面验证，也可以从反面，举反例来否定奇偶性.

评析课堂上适时总结出“一看二验三定”的三步骤，便于学生理解记忆，使学生喜闻乐见、兴趣盎然．

2.4 回顾反思、提升素养

通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？

3 教学思考

通过“函数的奇偶性”一课的教学实践，笔者认为在数学课堂上浸润数学文化，发展核心素养不能仅仅停留在“贴标签”层面，要结合具体的教学内容，从教学目标的确定、教学过程的实施、到教学评价都要有数学文化的意识，在充分挖掘教学内容的文化内涵的基础上，找准切入点、关注生长点，细细浸润，长期熏陶，逐步提升学生数学素养、数学素质．

3.1 充分挖掘教学内容的文化内涵

数学知识具有丰富而深刻的文化内涵，数学文化是蕴含在数学知识之中，通过数学教学内容反映出来的．在数学课堂上浸润数学文化，要求数学教师既要准确理解数学文化的内涵，还要深刻挖掘教学内容的文化内涵．那么什么是数学文化？笔者比较认同顾沛的观点，狭义理解主要指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等．教师在教学设计时要从显性和隐性两个角度去挖掘教学内容的文化内涵．显性的如教材内容所涉及到的数学史料、数学的美、数学应用等．本节课中函数奇偶性概念的发展史，奇偶函数图像的对称美，数学图形文字符号三种语言等都是显性的文化元素；除了显性的相关数学文化元素，那些源于教材、高于教材的内容所蕴含的数学思想方法、理性思维、情感态度、问题解决的能力等文化内涵更需要教师对教材从文化的视角进行适当的加工、设计和挖掘．本节课中数学家研究概念的思维方式，通过类比、从特殊到一般、数形结合等研究函数性质的的一般方法，善于抓住本质、学会表征、思辨能力，刨根究底、严谨求真的科学精神等这些学生所看不到的又很有价值的隐性的文化元素，会影响学生一生的发展，是数学教育实现立德树人的目标应该着力培养的．

3.2 准确确立教学目标的文化定位

李善良博士提出要让数学成为一种文化，这是数学教育工作者应该牢固确立的教学理念，也是数学课堂的一个教学追求．因此，数学教学应将“让数学变得文化些，还数学以文化之本来面目”作为追求的目标．要实现这样的目标要求教师教学设计时就要先确立教学目标的文化定位，在确定教学目标时要设计数学文化层面的目标，在教学评价时更要关注数学文化浸润目标的达成与效果．确定数学文化层面的教学目标要坚持科学性、渐进性和准确性的原则．数学学科自身特有内容抽象、推理严谨、结论明确、应用广泛等特征，这些特征是数学文化的重要组成部分，决定了数学思想、理性精神、思维品质等的培养应该作为主要的数学文化层面目标．要浸润数学文化，必须立足数学课程，防止矫枉过正，不能把数学课上成其它的课，充满文化气息的数学课堂还应关注数学本质．学生数学文化素养的提升是一个循序渐进的过程，数学文化的浸润要在潜移默化中得以实现，不能急功近利，是通过教师长期的坚持渗透，要通过耳濡目染、润物细无声、水到渠成实现自然生长．文化目标的确定应紧扣教学内容，符合学生已有的认知基础，贴近学生的最近发展区，还要可测量、可操作．

3.3 注重进行教学过程的文化浸润

李大潜指出：学好数学，不等于拼命做题、背公式，而是要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉接受数学文化的熏陶．数学课堂要注重教学过程中的文化浸润，从新课的引入、问题情境的创设到数学概念的建构、例题教学、实际应用，每一个教学环节都可以适时地结合具体的教学内容进行文化浸润．数学文化的价值不仅在于知识本身，也在于它的应用价值，数学应用是数学文化融入数学课程的结合点，数学教学应多联系实际，关注数学在日常生活中的应用；数学史是数学文化的一种载体，在数学课堂上融入数学史有助于学生理解数学、感受数学文化，让学生从数学历史的视角了解古今中外数学发展演变的真实过程，追溯数学问题、思想方法的来龙去脉，学习中外数学家为探索数学真理、上下求索、不畏失败的精神品质，体悟数学文化的博大精深，数学创造的曲折艰辛；解题教学过程中教学生学会数学地、理性地、有条理地思考，借助数学符号、概念与原理，从数与形两方面入手思考数学问题，并且能够有理、有据、有事实、有方法、有方向感，思维合乎逻辑，严谨周密、有条理，思路清晰．如本节课中函数奇偶性的概念的形成本身具有一定人文背景，通过对概念的适当追溯本源，既可以激发学生学习数学的热情，让学生感受概念中蕴含的丰厚的历史文化底蕴，还可以让学生学习数学家在探求真理过程中思维方式和执著的精神；如在上立体几何起始课时，可以让学生先观察荷兰埃舍尔的《景观楼》图片，在培养学生的直观想象素养的同时，让学生了解数学演变发展过程中绘画悖论这一奇妙有趣的数学历史；再如一曲《悲伤的双曲线》促进了学生对渐近线的感性认识和本质理解，让学生在数学课上接受到音乐的熏陶，也使得数学课堂情趣横生、引人入胜．

郑毓信教授提出，我们应由“文化自觉”过渡到“文化担当”，也即应当更深入地去思考：什么是教育工作者所应自觉承担的社会责任.数学文化源远流长，辐射出历史的智慧、至美的光华、意趣的高雅、大用的力量，作为数学教育工作者传播数学文化义不容辞，当数学文化的魅力真正浸润我们的教材，到达课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学.