函数及导数应用易错题归类剖析

杨涛

“函数与导数”是高中数学中的重点和难点知识，在历年高考中都占据着重要的地位，而且这部分知识既有难度较大的填空题，还有计算烦琐的解答题。又因为“函数”贯穿高中数学的始终，因此，学好这部分知识对同学们来说，显然是非常必要的。鉴于这部分知识有很多易错点，笔者根据自己的教学实践，对这部分知识的易错点总结剖析如下，供同学们参考。

易错点一：概念的理解不到位

在“函数”的学习中，经常会遇到一些条件相似，但在本质及解题方法上却存在很大差异的问题。若能及时对它们进行对比、区别，则可摆脱知识的“负迁移”，走出思维的误区，提高解题的准确率，同时对同学们加深对概念的理解、题意的挖掘、审题能力的培养等方面都大有益处。

1.定义域与值域。

易错点三：“导数值的符号”与“函数单调性”

设函数f（x）在某个区间内可导，若在此区间f‘（）>0恒成立，则f（x）在此区间内单调递增;若在此区间地f（）<0恒成立，则f（）在此区间内单调递减。利用导数解决函数的单调性问题时，除了掌握以上依据，还应明确以下几点（以增函数为例来说明）：

（1）f'（z）>0是可导函数f（z）在定义域内单调递增的充分不必要条件。例如，函数f（x） =x2在区间（ 一∞，+ ∞）上单调递增，但f'（x）≥0。

（2）f'（x）≥0是可导函数f （x）在定义域内单调递增的必要不充分条件。若厂（z）为增函数，则一定有f'（x）≥0，但反之不一定成立。因为f'（x）≥0为f'（x）>0或

一个可导函数在某点处的导数为0是在该点取极值的必要不充分条件，即可导函数在某处取得极值，则函数在此处的导数值必等于0;反之，若在某处的导数值为0，则函数在该处不一定取得极值，还需进一步检验f'（x）在f'（x）=0处的根的左有两边的导数值的符号是否异号。

易错点四：“极值点”等同于“导数的零点”

对于满足f'（x0）=0的点z。称之为导数的零点，f（z）可导时f'（x）=0的点只是f（x）的极值点的必要不充分条件，所以把“极值点”等同于“导数的零点”容易出现错误。

总之，同学们出现这些错误，一方面，是由于概念本身的抽象性，对基础知识掌握不全面或对题意理解不准确等导致的;另一方面，是因为教材对导数研究函数性质要求不全面、不太高，且教材选择的案例又太常规、太特殊，而平时遇到的函数丰富多样，所以同学们会出现认知盲点，出现错误。在平时的学习中，我们应该正视错误，剖析错误，澄清错误，对比分析，从而加深对概念本质的理解，消除疑惑，化解盲点，从而真正提高自己解决“函数与导数”问题的能力。

（責任编辑 王福华）