全国高考数学解答题答题规范及得分要领系列讲座(3)

高慧明

一、函数的单调性、极值与最值问题

例1 已知函数f（x） =lnx+a（1-x）。

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a一2时，求a的取值范围。

评注：利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用到的方法为：

（1）对于确定函数的单调区间问题，先求定义域，然后解不等式f'（x）>O，再分定义域求交集得单调递增区间;解不等式f'（z）<0，与定义域求交集得单调递减区间。

（2）对于求含参函数的单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图像判断。

（3）求函数的极值，先求f'（x）=O的根x0，再和函数的定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值;当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值。

（4）求函数的最值和极值类问题，先求f'（x）=0的根x0，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值;当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数的大致图像，进而求得最值。

答题模板：第一步，先确定函数的定义域，再求f'（x）。

第二步，根据f'（x）的符号确定函数的单调区间。

第三步，一般将恒成立问题转化为函数的最值问题。

第四步，通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立。

第五步，查看是否注意了定义域、区间的写法，以及最值点的探求是否合理等。

评分细则：（1）求出导数给1分。

（2）讨论时漏掉m=0扣1分;两种情况只有一种讨论正确给2分。

（3）确定f'（x）符號时只有结论无中间过程扣1分。

（4）写出f（x）在x=0处取得最小值给1分。

（5）无最后结论扣1分。

（6）用其他方法构造函数同样给分。

评注：证明不等式f（x）≥g（x）成立，可以构造函数H（x）=f（x）一g（x），通过证明函数H（x）的最小值大于等于零即可。有时候利用导数求函数的最小值比较麻烦，则可以通过特例法，即证明f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值即可。

模拟训练3.已知函数f（x）=Inx，g（x）=（a-e）x+2b（其中e为自然对数的底数）。

（l）若函数f（x）的图像与函数g（x）的图像相切于x=1/e处，求a，b的值;

（2）当2b=e-a时，若不等式f（x）≤

评注：将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量，哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量;求谁的范围，谁是参数”的原则。常用方法有参变分离法和构造函数法。