掌握要点 易解二次函数问题

马旭

在初中，二次函数是中考的一个重点，也是一个难点，走到高中，二次函数问题同样是一个重点和难点，同时它还是高考的一个热点.二次函数贯穿着整个高中教学，它不仅与其他函数，如指数函数、对数函数、三角函数有着密切的联系，还在数列、解析几何中有着广泛的应用，同时也是数学应用题中考查的一个重点.那么怎样才能更好地掌握二次函数呢？下面我们就从以下几个要点研究二次函数：

设二次函数为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），其图像为开口向上或者向下的抛物线.

（1）看开口：当a>0时，该函数图像为开口向上;当a<0时，该函数图像为开口向下.

（2）找对称轴：该函数的对称轴为x=-b2a.

（3）找顶点坐标：该函数的顶点坐标为-b2a，4ac-b24a，所以该函数的第二种解析式为顶点式：f（x）=ax+b2a2+4ac-b24a.

（4）與y轴的交点：令x=0，得y=c，即该函数图像与y轴的交点为（0，c）.

（5）与x轴的交点：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，令Δ=b2-4ac，

若Δ<0，则该方程无解，即该函数图像与x轴无交点;

若Δ=0，则该方程有两个相等的实根x1=x2=-b2a，即该函数图像与x轴有一个交点，其坐标为-b2a，0.

若Δ>0，则该方程有两个不等的实根x1=-b-Δ2a，x2=-b+Δ2a，即该函数图像与x轴有两个交点，其坐标为-b-Δ2a，0和-b+Δ2a，0，且有x1+x2=-ba，x1·x2=ca.此时x1、x2还称为函数f（x）的两个零点，所以该函数的第三个解析式为零点式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

（6）单调区间：当a>0时，该函数图像为开口向上，函数在区间-∞，-b2a上单调递减，在区间-b2a，+∞上单调递增;当a<0时，该函数图像为开口向下，函数在区间-∞，-b2a单调递增，在区间-b2a，+∞上单调递减.

例题分析

例1 已知函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），试比较f（4），f（-1），f（2）的大小.

分析 本题的关键是理解f（2+t）=f（2-t）所表示的含义，它表示2加上t与2减去t对应的函数值相同，即x=2是函数f（x）=x2+bx+c的对称轴.

解 因为函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），

所以函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2，即-b2=2，所以b=-4;

所以f（-1）=f（5），又因为f（x）在[2，+∞）上为增函数，

所以f（2）

总结 （1）若函数f（x）的图像关于直线x=a对称，则有f（a+t）=f（a-t），反之亦成立.

（2）注意利用对称性，将所比较的函数值转化到同一个单调区间上，才能用单调性进行比较.

例2 求函数f（x）=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最小值和最大值.

解 函数f（x）=x2-2ax-1的对称轴为x=a，且图像开口向上，

① 当a<0时，函数f（x）在区间[0，2]为增函数，

所以f（x）min=f（0）=-1，f（x）max=f（2）=3-4a.

② 当0≤a<1时，对称轴x=a在区间[0，2]内，且x=2距离对称轴较远，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（2）=3-4a.

③ 当1≤a≤2时，对称轴x=a在区间[0，2]内，且x=0距离对称轴较远，

所以f（x）min=f（a）=-1-a2，f（x）max=f（0）=-1.

④ 当a>2时，函数f（x）在区间[0，2]为减函数，

f（x）min=f（2）=3-4a，f（x）max=f（0）=-1.

总结 （1）该题对称轴变动而区间不变.

（2）考查了分类讨论思想，数形结合思想和函数与方程的思想，该题比较典型.

解决二次函数问题数形结合思想非常重要，研究二次函数，必须抓住二次函数的图像和三点一线（顶点，与x轴交点，与y轴交点以及对称轴）.同时还要从以上六个方面深入地研究二次函数的各个方面的特点，才能把二次函数理解好、掌握好.