基于核心素养考查的高考“背景题”的背景认识与解析

莫静波

【摘要】教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长王尚志教授指出：考试要着眼于能力，不能变成考技巧.让平时拼命刷题、反复复习、机械操练的考生占不了便宜.高考出的题目要有弹性，要出一些体现数学核心素养的“背景题”.这些高考“背景题”，从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义新背景、新知识，对于这类问题大多考生有雾里看花的感觉，往往在考试中给我们的学生带来很大的阻力.

【关键词】高中数学;核心素养;背景题

有人做过统计，一套高考数学试卷拥有的文字量，通常要求命题者控制在2 000个印刷符号，在一般情况下，考生能以每分钟阅读300～400个印刷字符的速度审题，这样读完一套试卷需要花费5～7分钟，考虑到有的题目冷僻晦涩，需要反复阅读，多次体悟才能断明题意，实际阅读完一套数学试卷需12分钟左右.书写主要用于解答题，一份试卷完整写出解答过程，大约需要写3 000个印刷字符.通常情况下，学生书写速度是每分钟150个符号，这样书写时间大约需要20分钟，因此我们看清并理解意思后，直接抄写标准答案花去将近32分钟，于是，留给我们探究思索、发现思路、估值计算、文字组织和复查检验的时间约88分钟.通常每套试卷拥有20～23道题，最后几道题设置一般不止给出一个问题，因此整个试卷就会有26～30个问题.因此，我们解答每个问题平均时间只有3分钟.那么完全依靠在考场中的3分钟时间来解决一道“背景题”是有很大难度的，这种强度的时间要求，对我们解答这类题目是个考验.然而，这些“背景题”并不是无源之水，都是有根可寻.我们可通过对下面题目的认识，来洞察高考出题的“背景点”.让学生在日常复习中感受这些的“背景”，提高他们解决“背景题”的能力.

引例1 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x-[x]，则5+12，5+12，5+12是（）.

A.是等差数列但不是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

答案 B

题目分析 本题属于新定义题，其中定义的新函数f（x）={x}，对多数学生来说对它知之甚少，{x}表示x的非负纯小数，其实它的核心是考查函数y=[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数）称为高斯（Guass）函数或取整函数，在各级竞赛中可谓常客.所以，此题创新点是在竞赛背景下的题目创新，高斯函数为背景的题目既有创新点，考查知识又不“超纲”，可谓创新的绝佳点.

背景解析 这道以竞赛中常客高斯函数为背景的题目，不是出题人随意而出的题目，而是在我们教材中有踪可寻的.在普通高中课程标准实验教科书《数学1》中P25B组3题：函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.当x∈（-2.5，3]时，写出函数解析式，并作出函数的图像.高斯函数将是以后一个阶段出创新题的热点.

函数y=[x]，（[x]表示不超过实数x的最大整数）的基本信息：

（1）y=[x]的定義域为R，值域为Z.

（2）函数的图像：阶梯线.

（3）对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1，x-1<[x]≤x.

（4）y=[x]是不减函数，即若x1≤x2则[x1]≤[x2].

（5）[x+m]=m+[x]（m∈Z）.

（6）[x+y]≥[x]+[y]，[xy]≥[x]·[y].

（7）设m与n为正整数，在1，2，3，…，n中，m的倍数为nm个.

引例2 一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°的角，且F1，F2的大小分别是2和4，则F3的大小是（）.

A.12

B.22

C.2

D.2

答案 D

题目分析 此题背景点是物理现象，数学解释.物理中的力可用数学中的向量来刻画，进而用向量的知识来解决力的问题.此题立意看似比较常见，但却隐含着一类创新题的方向，随着课程改革的不断推进和教学改革的不断深入，作为工具性学科的数学与其他学科的联系将更为密切，数学知识与其他知识的交叉整合将是一个十分重要的研究课题，在高考中也会用相应地体现.而这又是出题的很好的背景.

背景解析 数学知识与其他学科知识有很多交叉的点，与物理联系最为密切，近几年考的比较多是的向量与力结合的问题，这类问题仍是我们复习的重点.但由于出题较多，那么新意也就降低了.随着与力结合题目的新意降低，那么与光学原理有密切联系的数学知识就可能成为新的创新点，那么哪块知识会是结合的点呢？我们也要到教材中去寻找踪迹.普通高中课程标准实验教科书《数学1-1》（《数学2-1》）中2.1.2椭圆的简单几何性质中：例5，

如图所示，一种电影放映灯泡的反射镜面是一个旋转的椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆的一个焦F1发出的光线，经旋转的椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.

已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8 cm，F1F2=4.5 cm，

试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.

除此之外，在本章复习参考题中B组第4题再次设计关于圆锥曲线光学性质的问题（题目略）.圆锥曲线具有很好的光学性质，这类问题又在教材中反复出现，这恰好符合高考出创新题的条件.下面我们应了解圆锥曲线简单的光学性质：

（1）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点;

（2）双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点处，光线或声波射到双曲线靠近这个焦点的一支上，经过反射以后，其反射线的反向延长线，必定经过另一个焦点;

（3）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

引例3 如图所示，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的圖像大致为（）.

A

B

C

D

答案 A

题目分析 此题最大的特色是把物体运动与函数图像自然地融合在一起，实现了动与静的交汇，考查学生的抽象概括、合情推理和运用运动变化的观点分析问题的能力.这是一道运动中现本质，思维上求创新的动态函数问题.

背景解析 现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系，数学上我们用函数模拟描述这种依赖关系.因此，这类以动态为背景“动态函数型”题目，正好

拟合了函数刻画运动现象的本质及高中数学建模数学的核心素养.因此，这类题目将持续是高考出题的背景.

引例4 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）.

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

答案 B

题目分析 此题求解不难，但以数学史《九章算术》为背景的题目形式，给我以启示，数学文化渗透到高考将成为高考出题的一个重要背景.

背景解析 数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索、形成的数学史，数学精神及其应用.高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化.通过这种渗透，有效促进我们理性思维的发展.

这些类“背景题”题目以能力立意为指导，以考查能力和素质为导向，特点是将知识、能力和素质融为一体.结果是题不是很难，但“考倒”大批考生.原因在于，这类题目我们的学生大多感觉“非常规”，解题信心不足、方向不明，因而在考试中给我们带来了很大的阻力.希望可以通过者四道引例及解析，让我们有意识地认识“背景题”题目的“背景”，熟悉题目的立意点，减少陌生感，同时，我们要在日常复习中有意识地发现和训练学生解决这些“背景题”试题，探索它的解决策略，增强高考中的解题信心和能力.

【参考文献】

[1]沈传龙.再谈数学竞赛中的图论背景题及其解法[J].杭州教育学院学报，1991（4）：1-6.

[2]董朝芳.高中数学函数教学对数学思想方法的渗透[J].教育教学论坛，2014（21）：61-62.