非对称耦合半导体激光器环的组间混沌同步增强研究

李 岚，赵晓丹，武 敏，王龙生，杨毅彪

(太原理工大学 物理与光电工程学院，太原 030024)

近几年，互耦合半导体激光器网络同步受到研究学者的广泛关注[1-3]。其原因在于，半导体激光器丰富的非线性动态特性(尤其是混沌)在模拟和分析神经、社会以及通信等网络行为时发挥了重要作用[4-5]。2007年，SORRENTINO et al首先在复杂网络系统中发现了混沌同步现象[6]。2012年，DAHMS et al数值研究了由延时耦合混沌半导体激光器构成的复杂网络的同步稳定性[7]。2013年，WILLIAMS et al实验证明由混沌半导体激光器构成的网络中存在组同步[8]。

需要注意的是，复杂网络组同步主要包括两种类型的同步：组内同步和组间同步。前者是指同组节点之间具有零延时同步，后者是指不同组节点之间具有延迟同步。此外，同组节点的动态特性与不同组节点的动态特性具有明显的区别，这就为非均匀网络系统节点之间构建同步提供了可能[9]。最近报道发现，目前研究主要集中于如何获得高质量的组内同步[10]，却很少关注于如何获得高质量的组间同步。实际上，组间同步同样可以在动态网络系统中发挥重要作用，例如，在基于混沌同步的保密通信网络中，信息不仅可以通过组内同步在组内节点之间传输，同样可以通过组间同步在不同组节点之间传输[11-12]。此外，在神经网络中神经元的抑制或者兴奋也可通过组间同步达到一致[7]。目前，只有少量关于网络组间同步的探索研究，而研究结果表明组间同步系数还无法达到组内同步水平，这就限制了组间同步的实际应用。

笔者理论证明了通过非对称耦合可以提高激光器环网络的组间同步。在该系统中，四个激光器被分成两组，每组两个激光器光频(波长)相同但不相邻。笔者研究了在对称耦合和非对称耦合方式下激光器的组间同步特性。结果表明，在对称耦合方式下，激光器组间同步具有饱和效应——同步系数稳定于0.8到0.9之间。在非对称耦合方式下，激光器组间同步可被提高至0.9以上，且最大值可达0.98.此外，该结构下组间同步系数大于0.9的鲁棒性参数区间可达数十吉赫兹。分析表明组间同步质量增强主要得益于非对称耦合的注入锁定效应。

1 理论模型

如图1所示，环形网络系统由四个带有光反馈的半导体激光器构成。根据激光器的光频(波长)，这四个激光器被分成A，B两组。每一组包含具有相同光频(波长)的两个激光器，但这两个激光器不直接耦合。在A组内的激光器表示为LDA1，LDA2，B组内的激光器表示为LDB1，LDB2.除了光频(波长)外，激光器的其他参数一致。此外，激光器的耦合延迟和反馈延迟均保持相同且表示为τ.从A组激光器耦合进B组激光器的耦合强度表示为σAB，从B组激光器耦合进A组激光器的耦合强度表示为σBA.如果σAB=σBA，该环形结构就是对称的；如果σAB≠σBA，该环形结构就是非对称的。环结构激光器模型LDm(m=A1,A2,B1,B2)是根据L-K方程建立的[13]，如等式(1)-(5)所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在上述方程中，引入了激光器互耦合项和光反馈项。其中，Em(t)为激光器LDm的光场复振幅；Nm(t)代表对应的载流子数，Gm(Nm(t))代表光增益函数。I为激光器的偏置电流并将其设置在1.25倍阈值电流处。A是线宽增强因子，τp是光子寿命，τn是载流子寿命，τin是激光器腔内往返时间，g是差分增益，N0是透明载流子数，ε是增益饱和系数，β是自发辐射速率，kf代表反馈强度且四个激光器的反馈强度均相同。激光器LDA1,A2和LDB1,B2之间的频率失谐定义为Δυ=(ωA1,A2-ωB1,B2)/2π，ωA1,A2和ωB1,B2分别是激光器LDA1,A2和LDB1,B2自由运行时的角频率，且ωA1=ωA2,ωB1=ωB2.此外，激光器自发辐射过程通过引入独立的高斯白噪声χA1,A2,B1,B2进行模拟[14]。

图1 混沌半导体激光器环结构示意图Fig.1 Schematic diagram of chaotic laser diode ring

激光器的混沌同步质量通过计算时序的互相关进行定量表征，其定义如下[15]：

(6)

式中：括号<·>表示在一定的时间范围内求平均，P(t)表示激光器输出信号的光功率，该值正比于光场幅度的平方。互相关函数的最大值用于表征激光器的同步质量。数值模拟研究中所用的参数如表1所示。

表1 数值模拟参数Table 1 Values of parameters used in simulations

2 模拟结果

2.1 对称耦合(σAB=σBA)

在本节内容中，首先研究了对称耦合方式下(σAB=σBA)激光器环的混沌同步特性。图2所示为激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的时序及其互相关函数。如图2(a)和图2(b)所示，混沌激光器LDA1和LDA2具有相似的时序，而其同步系数在零延时处接近1.激光器LDB1和LDB2也具有类似的同步现象。这表明两组激光器均可获得高质量的组内零延时同步。对比之下，如图2(a)和图2(c)所示，激光器LDA1和LDB1之间没有明显的同步特征。通过对其做互相关运算，如图2(g)所示，他们的相关性在延时2 ns处为0.81.这表明激光器LDA1和LDB1建立了组间延迟同步，但其同步质量较组内同步较差。需要注意的是，这里只以组A中的激光器LDA1和组B中的激光器LDB1为例进行上述说明，类似的现象同样可以在其他两个激光器中观察到。进一步研究了随着对称耦合强度的增加，激光器同步特性的变化情况。如图3所示，激光器LDA1和LDA2(三角形)、LDB1和LDB2(正方形)之间分别建立了高质量的零延时同步，其同步系数接近1.这表明，在对称耦合方式下，无论耦合强度如何改变，组内激光器可以一直建立高质量的组内零延时同步。对比之下，如图1中圆形所示，激光器LDA1和LDB1之间建立的组间同步系数随着耦合强度的增加呈现快速增长随后稳定保持在0.8～0.9的趋势。类似的现象也曾在相关文献中报道[16]。可以发现，在对称耦合方式下，很大耦合强度范围内均可建立具有饱和效应的组间同步。但需要注意的是，模拟中所用的最大耦合强度设置为0.62，这在实际中不仅可以保证激光器工作在混沌状态[17]还可以避免由于强注入导致激光器损坏。

众所周知，激光器频率失谐也是一个影响混沌同步质量的重要参数。图4给出了在不同对称耦合强度下，激光器频率失谐对组间同步质量的影响。图4(a)和图4(b)分别为在负频率失谐以及正频率失谐情况下激光器LDA1和LDB1之间的同步系数。需要注意的是，用于将激光器进行分组的频率失谐一直存在，因此频率失谐为0的情况并未给出。从图4(a)或者图4(b)中可以发现，当耦合强度位于0.02～0.3时，组间同步系数随着频率失谐绝对值的增加而降低。当耦合强度增加至0.3以上时，频率失谐将不再对组间同步系数产生明显影响，其同步系数稳定于0.8～0.9.该现象与图3所示结果一致。这表明在对称耦合方式下组间同步质量增强遇到了瓶颈。

图2 激光器(a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的时序以及激光器(e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之间的互相关。激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=σBA=0.12，Δυ=-1 GHzFig.2 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=σBA=0.12, Δυ=-1 GHz

正方形代表激光器LDB1和 LDB2之间的同步系数。三角形代表激光器LDA1和LDA2之间的同步系数。环形代表激光器LDA1和LDB1之间的同步系数。激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=σBA=0.02～0.62，Δυ=-1 GHz图3 激光器同步系数随对称耦合强度的变化情况(σAB=σBA)Fig.3 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of symmetric coupling strength (σAB=σBA)

激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=σBA=0.02～0.62,Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz图4 激光器LDA1和LDB1同步系数随频率失谐和对称耦合强度的变化情况Fig.4 Color coded synchronization coefficient of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and symmetric coupling strength

2.2 非对称耦合(σAB≠σBA)

在本节内容中，进一步研究了在非对称耦合方式下(σAB≠σBA) 激光器环的混沌同步特性。图5所示为激光器LDA1,LDA2,LDB1,LDB2的时序及其互相关函数。很明显，激光器LDA1和LDA2，以及LDB1和LDB2的混沌输出呈现零延时同步。这表明即使耦合方式从非对称耦合变为对称耦合，组内激光器仍保持高质量的零延时同步。更加有意思的是，如图5(g)所示，激光器LDA1和LDB1在2 ns延时处建立了同步系数为0.93的组间同步。该结果与图2(g)结果对比说明，非对称耦合可以提高组间同步质量，但不改变同步类型，即延迟同步。同样，在该研究中只以组A中的激光器LDA1和组B中的激光器LDB1为例进行上述说明，类似的现象同样可以在其他两个激光器中观察到。进一步研究了随着对非称耦合强度的增加，激光器同步特性的变化情况。如图6所示，随着耦合强度的增加，激光器组内同步系数仍然稳定在1附近，该结果与图3所示结果类似。但可以发现，随着耦合强度的增加，组间同步系数逐渐增加，并且在耦合强度为0.62时组间同步系数达到最大值0.98，最终实现了组间同步质量的增强。

图5 激光器 (a) LDA1，(b) LDA2，(c) LDB1，(d) LDB2的时序以及激光器 (e) LDA1和LDA2，(f) LDB1和LDB2，(g) LDA1和LDB1之间的互相关。激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=0.51，σBA=0.02，Δυ=-1 GHFig.5 Temporal outputs (a) LDA1, (b) LDA2, (c) LDB1, and (d) LDB2. Cross-correlation function (CCF) between (e) LDA1 and LDA2, (f) LDB1 and LDB2, (g) LDA1 and LDB1. The coupling strength and frequency detuning parameters are chosen as σAB=0.51, σBA=0.02, Δυ=-1 GH

正方形代表激光器LDB1和LDB2之间的同步系数。三角形代表激光器LDA1和LDA2之间的同步系数。环形代表激光器LDA1和LDB1之间的同步系数。激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=0.02～0.62，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz图6 激光器同步系数随非对称耦合强度的变化情况(σAB≠σBA)Fig.6 Synchronization coefficient (SC) of LDs as a function of asymmetric coupling strength (σAB≠σBA)

进一步，图7给出了在不同非对称耦合强度下，激光器频率失谐对组间同步质量的影响。与图4对称耦合方式下的结果对比表明，在非对称耦合方式下组间同步系数大于0.9的区间可占整个参数区间的很大一部分，达数十吉赫兹。此外，发现高质量组间同步在负频率失谐的参数范围明显大于正频率失谐的参数范围。出现上述现象的原因分析如下：激光器的频率失谐是通过测量自由运行激光器的频率差获得的。在外部激光器注入下，静态激光器的波长将会发生红移[18]。为了获得同步系数大于0.9的组间同步，注入强度σAB要远大于σBA，即激光器LDB1,B2接收的注入强度明显高于LDA1,A2接收的注入强度。对比于激光器LDB1,B2对LDA1,A2的影响，激光器LDA1,A2对LDB1,B2的影响发挥主要作用。这导致激光器LDA1,A2和LDB1,B2之间的负频率失谐将会得到补偿，从而使得高质量组间同步具有较宽的参数调节范围。对于正频率失谐而言，外部光注入将会进一步增大失谐，这将导致组间同步质量下降，高质量组间同步参数区间也将会随之减小。

激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=0.02～0.62，σBA=0.02, Δυ=-30～-1 GHz，1-30 GHz图7 激光器LDA1和LDB1同步系数随频率失谐和非对称耦合强度的变化情况Fig.7 Color coded SC of LDA1 and LDB1 as a function of frequency detuning and asymmetric coupling strength

3 讨论与结论

利用非对称耦合，可以打破对称耦合下组间同步饱和状态，将其最大提高至0.98，这归结于非对称耦合方式下的注入锁定效应[19]。为了更加清晰地揭示这一现象，研究了注入锁定状态下激光器的光谱。可以发现，如图8(a)和图8(b)所示，在注入锁定条件下激光器LDA1和LDB1的光谱具有高相似性，特别是中心波长处。这主要是因为耦合强度σAB远大于σBA，进而激光器LDB1的输出被激光器LDA1放大和锁定，同步系数大于0.9的组间同步即可建立。对比之下，如图8(c)和图8(d)所示，在非注入锁定条件下，激光器LDB1的光谱明显不同于激光器LDA1的光谱。这主要是因为耦合强度σAB相对于σBA并不是足够大，进而导致激光器LDB1的输出无法被激光器LDA1完全锁定。

图8 激光器LDA1和LDB1在(a), (b)注入锁定条件下的光谱，激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=0.6，σBA=0.02，Δυ=-1 GHz以及(c), (d)非注入锁定条件下的光谱，激光器耦合强度和频率失谐设置为σAB=0.6，σBA=0.2，Δυ=-1 GHzFig.8 Optical spectra of (a) LDA1, (b) LDB1 in the injection-locking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.02, Δυ=-1 GHz, and optical spectra of (c) LDA1, (d) LDB1 in the injection-unlocking region with parameters of σAB=0.6, σBA=0.2, Δυ=-1 GHz

本文研究了在对称耦合和非对称耦合方式下，混沌半导体激光器环系统的组间同步特性。数值研究结果表明，在对称耦合方式下组间同步呈现饱和状，其同步系数稳定于0.8～0.9.在非对称耦合方式下，组间同步系数可被提高至0.9以上，且最大值可达0.98.此外，该高质量组间同步的参数调节范围可达数十吉赫兹.分析表明，这是由组间激光器非对称耦合导致的注入锁定效应引起的。受益于该效应，环形激光器网络的整体同步性能得到了大幅提高，这将助益于其在复杂网络中的应用。