一道课本例题的十种解法

杜海洋

摘 要：一题多解对于培养学生的发散思维和创造能力，对增强数学知识的横向联系意识是非常有效的。通过这种方式的训练，能够培养学生思维的灵活性及提高解题的效率，达到事半功倍的目的。

关键词：课本例题;一题多解;过焦点直线

纵观近几年高考试题涉及抛物线知识，则将过抛物线焦点的直线的性质常作为考查的切入点，本例由一道课本例题出发，笔者从不同角度用十种方法来解答，以飨读者。

（普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1）69页：

例4：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点。求线段AB的长。

方法一：（两点间的距离公式）由已知可得直线AB的方程为y=x-1（1）。与抛物线y2=4x联立解得x2-6x+1=0（2）。

方法二：直接利用公式：8。

方法三：利用勾股定理：（过B点向x轴作垂线交DA的延长线于点N）

由直线的倾斜角θ=45°。可得Rt△ABN为等腰Rt△

AB2=2BN2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2=8（x1x2）=2（36-4）=64∴AB=8

方法四：利用性质：AB=x1+x2+P。由方法一可得AB=6+2=8。

方法五：利用性

方法六：利用性质S△

∵S（d为原点到直线的距离）∴AB=8。

方法七：利用=1

∴AB2P2=8

方法八：根据以AB为直径的圆与准线L相切的性质。

即找到AB的到准线L的距离为AB的一半。

由（2）可得x1+x2，即M（3，2）.

所以点M到准线L的距离为3-（-1）=4，则AB=8

方法九：利用参数方程。

设A（2pt2，2pt）则点A在直线y=x-1。即4t2-4t-1=，仿方法一可得结论。

方法十：利用以AF，BF分别为直径的圆与y轴相切的性质。

即分别求出AF，BF的中点到y轴的距离即可。

AF+2=8

附：过抛物线焦点弦的常用性质。（以下希望读者结合课本例题仿照引例证明）。（1）xAxB=2）焦点弦中通径（垂直于x轴的焦点弦）最短;（3）Aα是直线AB的倾斜角）;（4）S△直线AB的倾斜角）;（5）以AB为直径的圆与准线MN相切，切点为MN的中点Q;（6）以MN为直径的圆与AB相切，切点为焦点F;（7）A，O，N三点共线，B，O，M三点共线;（

点评：通过对教材典型代表例题进行一题多解的训练，不仅能让学生对本节知識掌握更透彻，还能使学生的解题思路更加开阔，在进一步培养了学生思维迁移的能力和提高学生的解题能力的同时，还激发了学生学习的主动性、求知欲，并潜移默化地培养了学生优良的数学素养。

参考文献：

杨刚.多维视角 殊途同归[J].中学数学教学参考，2018（10）：46-47.