巧构“010”分类 妙用“轨迹法”解题——谈两个顶点固定的等腰三角形分类问题

江苏省南京市金陵中学西善分校 (邮编：210041)

分类讨论是一种重要的数学思想方法，它能使复杂问题条理化，繁琐问题简单化，是培养学生思维严谨性和缜密性的关键，同时也是提升学生问题探究能力的重要方式．一直以来，几何中等腰三角形的分类，因其图形的直观性和其边角特征的常用性，成为了经典分类问题，也是历届中考的热点问题之一．

笔者通过自己在教学中的实践发现，学生在解决等腰三角形分类问题时是有分类意识的，也知道从边角两个维度去分析讨论，但面对中考此类题，或因为图形复杂，或因为结果偏多，出现漏解、错解的情况甚是严重．本文针对两个顶点固定的等腰三角形分类问题，以近些年的中考题为例，借助“轨迹法”构图分析，谈谈此类问题的解法策略，与同仁交流、分享．

1 “010”轨迹的介绍

已知两个定点A和B，若平面内再找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则点C的轨迹是：分别以点A、B为圆心AB长为半径的两个圆和线段AB的垂直平分线．(不包括A、B、C三点共线的位置)

图1

原理分析△ABC是等腰三角形，但不明确腰底情况，故需分类讨论：①以C为顶角顶点，即CA=CB，则点C在AB垂直平分线上；②以A为顶角顶点，即AC=AB，则点C在以A为圆心AB为半径的⊙A上；③以B为顶角顶点，即BC=BA，则点C在以B为圆心BA为半径的⊙B上；所以点C的所有位置形成了类似“两圆一线”的轨迹，如图1，因形状和数字010相像，故又名等腰“010”轨迹．

2 “010”轨迹的应用

2.1 平面直角坐标系中的“010”

例1 (2016·湖北武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有______个．

图2

解析本题只知晓△ABC为等腰三角形，对于腰底情况并不明确，故需分类讨论．已知等腰三角形ABC中，A和B两个顶点是固定的，第三个顶点C可以按CA=CB、AC=AB、BC=BA分类逐个画图；同时也可以直接运用“010”模型快速分析：点C的轨迹在如图2所示的“010”虚线上，构图后发现AB垂直平分线与坐标轴交点有2个，即C1、C2；⊙A和⊙B与坐标轴交点有5个，即C3、C4、B、C5、C6，其中C3和B的位置不能构成三角形．所以满足条件的点C有5个．

点评运用“010”轨迹解题，其中构图的细节也是影响正确率的一方面．本题中⊙A和⊙B的画法需根据数据的特征，推理出直线与圆的位置关系，结合数据和关系可以较准确地画出圆的位置．只有准确的构图才能跳出题目的陷阱，发现图形位置的特殊性.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

图3

解析限于篇幅，笔者这里只探讨第(2)问．由(1)问可求，点A坐标(9，3)，点B坐标(5，0)．等腰三角形ABP固定两个顶点A和B，由“010”模型知点P的轨迹在如图3所示的“010”虚线上，构图后发现符合要求的x轴交点有4个，即P1、P2、P3、P4．

点评平面直角坐标系中，坐标的求法，方法多样，难度不大．这类题学生扣分的重点，不在于求法，而在于系统全面地画出所有点的位置．学生学会有条理地列出每种类型再逐个研究，是解此类题的关键所在．等腰“010”模型恰恰可以用整体的构图、系统的布局，达到最直观的效果，是解决此类等腰问题最有效的策略．

2.2 图形运动中的“010”

图4

例3 (2017·浙江义乌中考)如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是______.

图4

图5

图6

图7

图8

分析由题意可知，随着x值的变化，点M、N的位置发生变化，但线段MN的长度不变．由“010”模型可得等腰三角形PMN的顶点P轨迹在两圆一线的“010”虚线上，而本题中M点的运动，会带动着整个“010”也在运动，过程如图4—图8．

结合整个的运动过程，筛选出点P恰好有三个的位置，画图求解即可．但为了更加系统全面地探究整个过程中，点P个数变化的情况，笔者在解析中给出更细致的分类研究．

图9

例4 (2019·黑龙江绥化中考)如图9，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于点P个数的说法中，一定正确的是( )

①当x=0(即E、A两点重合)时，点P有6个；

④当△PEF是等边三角形时，点P有4个;

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

图10

图11

图12

解析本题只是将例3中的45°换成了正方形对角线的情境，本质上都是运动中的“010”题型．易知等腰三角形PEF的顶点P轨迹在两圆一线的“010”虚线上，构图分析如下：(1) 当E、A两点重合时，如图10，此时符合要求的交点有6个，故①正确．(2)当点E刚离开点A时，如图11，此时符合要求的交点有8个，故②、③均错．(3)当△PEF是等边三角形时，即两圆交点位于正方形边上如图12，此时符合要求的交点有4个，故④正确．所以答案选B．

当然本题还可以像例3一样，着眼于整个运动的动态过程，抓住临界位置．探究整个运动过程中，点P个数变化的情况．

点评第一类平面直角坐标系中两个定点的等腰三角形也许不用“010”轨迹，逐个分类也能解决；但第二类运动中的等腰三角形存在性问题，若是逐个画图，凌乱且复杂，错误率很高，而“010”轨迹法则能呈现整体的轨迹图，有助于直观判断，达到化隐为显、化繁为简的效果．

2.3 一图中的多个“010”

图13

例5 (2017·湖北武汉中考)如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为______个．

解析本题“以△ABC的一边为边画等腰三角形”是分类信号之一，可以分成三大类：以BC为边画等腰、以AC为边画等腰、以AB为边画等腰．其中每一类都是固定两个顶点的等腰“010”模型．

图14

(1)以BC为边画等腰，如图14，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有4个等腰三角形，即△P1BC、△CP2B、△CP3B、△BCP4．

图15

(2)以AC为边画等腰，如图15，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有2个等腰三角形，即△P5AC、△ACP6．

图16

(3)以AB为边画等腰，如图16，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有1个等腰三角形，即△P7AB．

综上所述，可以画出7个不同的等腰三角形．

点评本题为二级分类题，既不明确哪条边为边画等腰，也不清楚所画等腰的腰底情况，故解题时，若只凭感觉去逐个罗列，遗漏是必然的．但有了“轨迹法”的解题策略，3个“010”就可轻轻松松、一目了然地解决此题．本题还可以变式为当∠A=30°，写出此时不同的等腰的个数．

3 写在最后

一个好的解题方法，应以学生的理解为基础，以解题的高效为动力，以帮助学生全面地、系统地研究问题为根本，从而达到“练一题，学一法，会一类，通一片”的目标.[1]解题中，只有看透问题的实质，抛开琐碎的技巧，着眼于整体的概况，才能挖掘到方法的本质．如简单图形中的等腰分类，学生没问题，而为什么本文中的这些等腰分类问题，学生错误的情形非常严重？究其根本原因，是没有理解等腰分类的方法本质，故在简单图形中能罗列凑合，一旦图形复杂或运动就稀里糊涂、无从下手．等腰在不确定腰底情况下的分类，本质就是三条轨迹，“轨迹法”是解决此类问题最全面、最系统的方法.[2]所以笔者认为解题中，不应以解出答案为终点，而应注重解题过程的通性通法，方法是否合理，是否成体系，是否可以一以贯之．只有这样，解题才会有章法、成体系，数学也才会越学越简单．

日本教育家米山国藏认为：“成功的数学教学，应当是数学精神，思想方法深深地、永远地、铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时数学的知识已经淡忘”．可见渗透数学思想方法的教学才是可持续、可发展的数学教学，只有在实践中锤炼出的数学思想方法才是学生真正能留得住、带得走并受用一生的数学财富．