“三段六环”教学实践研究——以“完全平方公式”教学为例

安徽省合肥市第六十八中学 (邮编：230601)

1 背景介绍

笔者近期观摩学习了一节沪科版七年级下册第八章第三节“完全平方公式”第一课时.执教者在教学时采用“三段六环”：预学阶段(自学)、助学阶段(导学、伴学、展示)、固学阶段(测评、展示).下面以这节课为例，谈谈采用“三段六环”，如何在课堂教学中调动学生积极性、发挥学生主动性，如何把学生“卷”入到教学中，变被动接受为主动学习的.

2 实施环节

基于“完全平方公式”的课例，在此主要讨论“三段六环”教学法在一节课的教学设计中如何运用，并进行简要的解析.

第一阶段：预学阶段.

在教学第一阶段，主要是以学生自主学习探究为主.

环节一创设情境，导入新课

图1

问题1 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成了四块试验田，以种植不同品种的玉米.

(1)分别写出每一块试验田的面积；(2)试求出扩大后的总面积；(3)通过上述两个问题，你得出什么结论？

学生独立思考、自主学习，解决问题.

图2

问题2 如果将该正方形实验田边长缩减b，面积又为多少呢？

学生自学教材内容，尝试先独立完成相关问题.然后小组讨论交流，达成共识.

设计意图通过对一组图形的面积进行观察、计算形成猜想，为本节课的学习作铺垫.将实际问题转化为数学问题，引导学生体验知识发生、发展和得出结论的过程，发展符号意识和培养几何直观，渗透数形结合的数学思想方法.

第二阶段：助学阶段.

强调的是交流.教师问题引领、任务驱动，组织学生合作探究、思路点拨；紧扣知识联系，帮助学生理解建构，进行师生交流；学生通过小组合作“伴学”，组内分享、组间分享，进行生生交流.

环节二合作探究，释疑解惑

问题3 你能用多项式乘多项式法则证明(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2吗？

学生动手尝试解决问题，展示分享，同伴交流，互助伴学.

因为(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2，

所以(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.

设计意图在本节课之前，学生已经学习了整式乘法，完全平方公式实际上是多项式乘法结果的一种特殊形式，体现从一般到特殊的思想.通过代数运算，将新知与和学生学过的旧知联系起来，证明猜想、推导出结论.

问题4 你可以尝试用自己的语言概括描述这两个公式吗？

学生：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.

教师：我们可以将上面的完全平方公式文字语言概括口诀为：首平方、尾平方，乘积的2倍放中央.

设计意图对公式的语言叙述，其实是一个结构类比的过程，可以加深对公式的理解，培养学生的思维条理性和表达能力.口诀的引入，便于记忆.

环节三合作探究，初步应用

例题学习

利用完全平方公式计算：

(1)(2x+y)2

(2)(3a-2b)2

教师要求学生写出公式套用过程.学生先尝试独立解决(要求写出公式套用过程)，再小组合作、交流.

教师：完全平方公式有两数和与两数差的平方两种形式，这两题分别可以用哪种形式的公式？

学生：第一题可以用两数和的完全平方公式，第二题可以用两数差的完全平方公式.

教师：运用公式计算，要先识别公式中的a，b在具体式子中分别表示什么.

学生：第(1)题公式中的a表示2x，b表示y；第(2)题公式中的a对应题目中的3a，b对应题目中的2b.

师生合作，板演例题.

(1)(2x+y)2=(2x)2+2·(2x)y+y2

(a+b)2=a2+2ab+b2

=4x2+4xy+y2

(2)(3a-2b)2=(3a)2-2·(3a)(2b)+(2b)2

(a-b)2=a2- 2ab+b2

=9a2-12ab+4b2

教师：第(2)题有别的计算方法吗？

学生：运用加法交换律，将(3a-2b)2转化成(-2b+3a)2，然后运用两数和的平方公式.

教师引导学生用上述方法将第(2)题再做一遍，并谈一谈自己运用完全平方公式的收获.

(2)(3a-2b)2

=(-2b+3a)2=(-2b)2+2·(-2b)(3a)+(3a)2

(a+b)2=a2+2ab+b2

= 4b2-12ab+9a2=9a2-12ab+4b2

设计意图运用完全平方公式时，在掌握公式的结构特征基础上，要防止用错公式，还要理解公式中字母的广泛含义.例题学习通过对比，揭示了公式中字母a、b所表示的可以是数或字母，也可以是单项式或多项式，还可以是其他表达式，加深了学生对公式的理解.

环节四学以致用，当堂演练

小测试:

(1)填空

①x2+ 6x+( ) =(x+ )2

②[2x+( )]2= 4x2+( )+9y2

(2)利用完全平方公式计算：

①1022 ②8.92

图3

(3)如图，一张正方形纸片，若把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长.

设计意图以填空题形式呈现的第(1)题旨在直接运用公式，第②小题的设计为了考查学生能否全面考虑完全平方公式的两种形式；以计算题形式呈现的第二题从字母回归到数字，让学生体会到完全平方公式可以进行简便计算，达到简化运算的目的；第(3)题发展几何直观，从数回到形，同时也为下节课平方差公式的教学埋下伏笔.

第三阶段固学阶段.

这一阶段主要是学生在课堂上参与小结、梳理知识,课后通过作业进行巩固，教师帮助学生建构知识体系.

环节五课堂小结，知识建构

1.本节课中我们是如何得到完全平方公式的？

2.又是如何证明公式的？

3.在运用公式解题时，你觉得有哪些要注意的地方？有什么收获？

设计意图通过教师的引导，学生回顾整节课的学习过程，促使学生学会归纳、梳理本节课知识、技能和方法，达到进一步提升学生学习的反思能力、语言表达能力的目的.

环节六布置作业，课后检测

必做题：同步训练8.3第一课时

选做题：1.若(x-y)2+M=x2+xy+y2，则M为______;

2.若x2+y2=2,x+y=4，求10xy的值.

设计意图本节课设置了必做与选做两类作业，面向全体学生，因材施教、满足不同水平的学生的需要.

3 教学思考

(1)创设情境，育抽象素养于自主探究之中

数学活动是数学课堂教学的重要组成部分，教师应该在学生已有的数学活动基础上，引导学生在公式的推导过程中把研究的对象从某种角度看待的本质属性抽取出来，让学生经历数学抽象的整个过程，提升学生的数学抽象素养.本节课的导入设计立足于几何直观，通过图形面积的割补给出了完全平方公式的几何背景.学生在自主学习中，自我探求知识，思考解决问题，唤起学生的主体意识.

(2)任务驱动，育建模素养于发现归纳之中

数学建模是把实际问题加以提炼、抽象，用数学语言表达和解决问题的过程.初中数学建模旨在培养学生的创新意识和应用能力.在本节课推导公式的过程中，教师立足知识的生长点，利用新旧知识的联系，发现归纳公式模型.在这个环节中，教师营造出轻松、和谐的氛围，给学生提供发表自己见解的平台，并根据学生的不同情况，解疑释难、指导学习.学生经历发现、证明、归纳的过程，积累数学活动经验.

(3)点拨思路，育运算素养于合作伴学之中

要提升学生的运算素养，离不开解题练习,而课堂是培养学生运算素养的重要场合.学生通过及时训练、积极参与、独立思考、个性展示、合作共赢，在实践中体验学以致用，培养应用意识、提升综合运用能力，并通过这种积极的学习体验树立成功的信心.教师在学生解题之后，引导学生反思，拓宽解题思路，训练学生养成良好的解题习惯，发展数学运算素养.

在“三段六环”教学中，将学生“卷”入到学习过程中，充分尊重学生是课堂学习的主体，重视教师主导作用的发挥，对于促进学生深度学习，提升学生的数学素养，起到很大作用.