关于函数连续性的研究

2019-10-28 05:24黄娟霞
通化师范学院学报 2019年10期
关键词:黎曼邻域连续性

黄娟霞

在高等数学中,函数连续的概念具有承上启下的作用,它是在极限概念的基础上建立的,对零点定理、介值定理等重要定理的学习具有重要的意义,并为后续的导数、微分和积分的学习奠定了基础,反过来,研究可导、可微和可积的性质又可以进一步加深对函数连续概念的掌握和理解[1-4].

1 函数连续性的概念

1.1 函数在一点的连续性

定义1[5]设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续.

定义2[5]设 Δx=x-x0,函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,在此点处函数取得增量,若 有Δy→0(当Δx→0),那么就称函数y=f(x)在点x0处连续.

定义 3[5]对ε>0 ,若 ∃δ>0 ,使得当时,有,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续.

1.2 左连续和右连续

定义 4[5]如果,则称函数f(x)在点x0左连续.如果,则称函数f(x)在点x0右连续.

定义5[5]设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果,那么就称函数y=f(x)在点x0连续.

1.3 函数在区间上的连续性

定义6在开区间(a,b)内每一点都连续的函数,称为在开区间(a,b)内的连续函数.如果函数在开区间(a,b)内连续,且在左端点a右连续,在右端点b左连续,那么称函数在闭区间[a,b]上连续.

2 函数的间断点

定义7设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果,那么就称x0为函数y=f(x)的间断点.

从定义5可知,连续与间断是一对相对立的概念,函数不连续即间断.因此,函数在下列三种情况下出现间断:

(1)在点x=x0没有定义.

(2)虽在x=x0有定义,但不存在.

(3)虽在x=x0有定义,且存在,但

函数的间断点详细可划分为:

例1设函数f(x)的表达式为

试确定函数间断点的类型.

解 函数间断点为x=0,x=1.

当x=0时 ,,,从 而x=0为 函 数的跳跃间断点,也即为第一类间断点.

当x=1时,,,从 而x=1为 函 数f(x)的无穷间断点,也即为第二类间断点.

3 漏斗原理

函数的连续、可导、可微和可积这四个概念的关系恰好形成一个“漏斗”,称为漏斗原理.如图1所示.

图1 漏斗原理

定理1函数f(x)在点x0可导的充分必要条件是函数f(x)在点x0可微.

证明(必要性)如果f(x)在点x0可导,即存在,根据极限与无穷小的关系,上式可写成,其中α→0(当Δx→0),由此,且不依赖于Δx,所以f(x)在点x0也是可导的.

(充分性)如果函数f(x)在点x0可微,则按定义有Δy=AΔx+αΔx,此式两边除以Δx,得

于是,当Δx→0时,由上式就得到

所以f(x)在点x0是可导的.

定理2如果函数f(x)在点x可导,那么函数f(x)在点x处必连续.

证明 如果函数y=f(x)在点x处可导,即存在.则

即函数y=f(x)在点x处是连续的.

注:定理2中连续是可导的必要条件,即函数f(x)在点x处连续却不一定可导.

定理3如果函数f(x)在[a,b]上连续,那么函数f(x)在[a,b]上可积.

证明 由于f(x)在[a,b]上连续,因此在[a,b]上一致连续.即对任给ε>0,存在δ>0,对 [a,b]中任意两点只要,便有

所以只要对[a,b]所做的分割T满足‖‖T<δ,在T所属的任一小区间Δi上,就能使f的振幅满足

注:定理3中的连续是可积的充分条件,即函数f(x)在点x处可积却不一定连续.

例3讨论黎曼函数

在区间[0,1]上的连续性和可积性.

解 因为黎曼函数f(x)在x=0,1,以及(0,1)内的无理点处是间断的,因此黎曼函数不连续.

下证黎曼函数f(x)在区间[0,1]上可积.

任给ε>0,在[0,1]内使得的有理点只有有限个,设它们为r1,r2,…,rk.现对[0,1]作分割T={Δ1,Δ2,…,Δn} ,使并把T中所有小区间分为和两类.其中为含 有中点的所有小区间,这类小区间的个数m≤2k(当所有ri恰好都是T的分割点时才有m=2k);而为T中所有不含中点的小区间.由于f(x)在上的振幅于是

而f(x)在上的振幅于是

把这两部分合起来,则

即f(x)在区间[0,1]上是可积的.当取ξi全为无理点时,使得,于是

4 结论

连续性是函数最基础的性质之一,它对后续知识的学习至关重要.本文首先研究了连续的概念,然后通过对间断的研究来加深对连续的理解,最后通过漏斗原理对连续、可导和可积这三个微积分中最重要的概念进行对比说明.除此之外,还可通过对最值定理、零点定理及介值定理等知识的学习加深对函数连续性的理解.

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