压缩感知理论在空时译码中的应用

吴雪萍，邵玉蓉，马 琳，姜恩华

随着无线通信技术的快速发展，LTE中的多入多出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）和正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术已经日益成熟［1］.OFDM技术能有效抵抗窄带干扰、提高抗频率选择性衰落的能力［2］；MIMO系统则能通过借助空时码技术成倍地提高系统的信道容量，从而大大提高频谱资源利用率［3］.虽然MIMO-OFDM系统有诸多优点，但在实际的工程中，仍面临着各种各样的问题［4］.例如，在频谱资源受限时，如何获得较为准确的信道状态信息、提高信息传输速率是我们首要解决的问题.目前，空时译码技术已经逐渐完善，其中，空时分组码可以在不增加带宽的情况下提高数据的传输速率.越来越多的研究发现无线信道更多地表现出时域稀疏性［5-6］；在信道时域稀疏的条件下，利用压缩感知理论能较好地重构出信道参数.若能将两者有机结合，将会极大地提高无线通信系统中信道估计的精度，从而降低空时译码的误码率.

1 压缩感知理论

近年来，压缩感知理论被频繁的应用到信号处理领域中，由于其良好的性能，是算法易于实现，迅速成为通信领域中极具应用前景的理论研究［7-8］.就模拟信号而言，在采样频率远低于Nyquist采样频率的条件下，利用压缩感知对其采样，可以在采样的同时实现信号压缩的目的［9］，在接收端，通过压缩感知重构算法重构出原来的稀疏信号.

1.1 稀疏信号

信号的稀疏是指，若信号X∈RN在某个正交基或紧框架Ψ上是可以压缩的，求其变换系数θ=ΨTX，则θ是Ψ的等价或逼近的稀疏表示.

1.2 观测矩阵

设计一个平稳的与变换矩阵Ψ不相关的M×N的观测矩阵Φ，对变换系数θ进行观测，得到观测集合如式（1）所示，其中n为噪声，

该过程也可以认为是通过矩阵Θ=ΦΨ对信号X进行观测，观测信号Y如（2）式所示.

1.3 重构算法

根据式（1）直接求解X属于欠定问题，无法正确求出方程的解.因此可转化为用l0-范数或l1-范数的优化问题求解信号X的精确或近似逼近解.利用压缩感知重构算法：贪婪算法和凸优化算法对（1）式求解，得到稀疏变换系数θ，如（3）式所示，进而通过公式X=Ψθ求得X，

带噪声的压缩感知模型如图1所示.

图1 带有噪声的压缩感知模型

2MIMO-OFDM系统模型

MIMO技术与OFDM技术相结合，形成了MIMO-OFDM通信系统，被广泛应用于LTE-4G移动通信和WLAN网络等无线通信网络中，如图2所示.

图2MIMO-OFDM通信系统

该MIMO-OFDM通信系统的信道矩阵可以表示如（4）式所示.

式中：hNRNT表示第NR根接收天线，第NT根发送天线的信道脉冲响应.对（4）式矩阵的每个元素进行傅里叶变换，求得MIMO-OFDM通信系统的信道频域表示，如（5）式所示.

根据输入、输出以及信道参数之间的关系，MIMO-OFDM通信系统的输入和输出方程可以用（6）式表示.

其中输入信号s和输出信号y均为频域表示，写成矢量方程如（7）式所示.

3 空时编码分析

3.1 2×1发射分集模型

采用Alamouti编码器，对两发一收的稀疏多径信道进行模拟，图3为两发一收MIMO系统中的空时编译码结构图.

图3 两发一收MIMO系统中的空时编译码结构图

在第一个周期将S0和S1两个符号分别从天线1和天线2发射出去，下一个周期则是符号-S1*和S0*从天线1、天线2发射，其中S0*是S0的复共轭［10］.假设在两个连续的符号周期内信道参数保持恒定，按照Alamouti编码规则，则输入信号矩阵如（8）式所示.

此矩阵的行数为发射端数目，列数为时刻，第一列为现在时刻，该两发一收MIMO-OFDM系统的信道矩阵的频域表示如（9）式所示，其中接收天线数目为行数，发射天线数目为列数.

两发一收MIMO-OFDM系统的输出R的矩阵方程如式（10）所示.

把式（10）写成方程组如式（11）所示，其中r0为t时刻的接收信号，r1为t+T时刻的接收信号.

式（11）中：n0和n1分别表示在t时刻和t+T时刻上的加性随机高斯白噪声.

3.2 2×2发射分集模型

采用Alamouti编码器，对两发两收的稀疏多径信道进行模拟，若输入信号不变，两发两收MIMO系统中的空时编译码结构图如图4所示.

图4 两发两收MIMO系统中的空时编译码结构图

则信道矩阵的频域表示如（12）式.

输出R如（10）式所示，其线性方程组可以用（13）式表示，其中r1和r3为t时刻的接收信号，r2和r4为t+T时刻的接收信号.

式中：n0和n2表示在t时刻的加性随机高斯白噪声，n1和n3表示在t+T时刻上的加性随机高斯白噪声.

4 基于压缩感知理论的空时译码

在接收端，需要准确估计出空时编码信息通过MIMO-OFDM系统时的信道信息，供空时译码器使用，本文采用压缩感知理论，通过设计训练序列进行信道估计.

4.1 基于训练序列的信道估计

采用训练序列估计信道信息，选择在数据发送之前插入一段已知的训练序列S0和S1，令S0=（1，1，1，…，1），S1=（0，0，0，…，0），使其通过MIMO-OFDM通信系统，其长度为信道的长度.以两发两收的发射分集模型为例，把训练序列代入（13）式，得到（14）式.

设计高斯随机矩阵phi1=randn（N1/2，N1）作为压缩感知观测矩阵Φ，对（14）式的r0、r1、r2和r3进行观测，得到观测信号y0、y1、y2和y3，如（15）式所示.

式中：Φn0、Φn1、Φn2和Φn3为噪声的观测值.根据压缩感知理论，高斯随机矩阵Φ与傅里叶变换阵W的乘积ΦW满足约束等距性RIP［11］，因此，把y0、y1、y3和y3作为观测信号，ΦW作为观测矩阵，得到基于训练序列的MIMO-OFDM通信系统的信道估计的压缩感知模型如（16）式所示.

对（16）式采用重构算法 OMP、GOMP和ROMP求解，可以重构出MIMO-OFDM通信系统的信道脉冲响应h0、h1、h2和h3，供空时译码使用.同理，也可以重构出两发一收的发射分集模型的信道脉冲响应h0、h1.

4.2 信道估计的实现

根据上述理论分析，对2×1和2×2稀疏多径信道进行仿真实验，则基于压缩感知理论的OMP算法重构出的MIMO系统信道参数分别如图5和图6所示.

图5 OMP算法重构两发一收MIMO系统信道参数

图6 OMP算法重构两发两收MIMO系统信道参数

从图5和图6中可以看出，基于压缩感知理论的OMP算法能够正确找到非零抽头的位置，并且重构信道与实际信道具有很好的拟合性.

4.3 信道估计在空时译码中的应用

利用重构出的信道脉冲响应和接收信号，对2×1的空时译码则可用式（17）表示.

对2×2空时译码如式（18）所示.

5 空时译码仿真实验

5.1 仿真实验平台搭建

在系统的发送端，信号首先经过串并转换、编码、QPSK映射、加入训练序列以及空时编码等预处理后经傅里叶逆变换（IFFT）将信号从频域变换到时域；在接收端，经傅里叶正变换（FFT）后被送入信道估计模块中估计供空时译码使用.则系统模型如图7所示.

图7MIMO-OFDM通信系统仿真实验模型

5.2 仿真实验

（i）两发一收的空时译码仿真实验.为了比较LS算法、GOMP算法、OMP算法和ROMP算法在信道估计方面的性能.本文进行了如下仿真.输入信号长度N=512.对两发一收的稀疏多径信道仿真，空时译码的成功率如图8所示，误码率如图9所示.

图82Tx1R的MIMO-OFDM系统空时译码的成功率

图92Tx1R的MIMO-OFDM系统空时译码的误码率

从两发一收的MIMO-OFDM系统空时译码的成功率和空时译码的误码率的仿真结果中可以得到：对于两发一收的MIMO信道模型而言，在相同信噪比的情况下，基于压缩感知重构的OMP算法估计比传统LS信道估计的性能要好，ROMP算法和GOMP算法估计则不尽理想，而GOMP算法估计性能较差.

（ii）两发两收的空时译码仿真实验.在MIMO-OFDM系统中，输入信号长度N=512时，对两发两收的稀疏多径信道仿真，空时译码的成功率如图10所示，误码率如图11所示.

图102Tx2R的MIMO-OFDM系统空时译码的成功率

图112Tx2R的MIMO-OFDM系统空时译码的误码率

从两发两收的MIMO-OFDM系统空时译码的成功率和空时译码的误码率的仿真结果中可以得到，对于两发两收的MIMO信道模型而言，对比四种算法估计，基于压缩感知的OMP算法估计较其他三种算法估计的性能要好.在相同信噪比的情况下，OMP算法能获得较优的信道估计性能，而GOMP算法的估计性能较差.

6 结论

本文研究了压缩感知理论在空时译码中的应用，针对两发一收和两发两收的MIMO-OFDM系统模型，进行了基于压缩感知重构的GOMP算法、OMP算法、ROMP算法和传统的LS算法估计，通过比较可得，无论是两发一收还是两发两收的MIMO-OFDM信道模型，利用压缩感知理论重构的OMP算法估计更为优越.本文所论述的方法能够提高信道参数的估计精确度，从而降低空时分组码STBC的译码的误码率.