中职数学教学中常用反例教学

【摘要】近年来，中职学生数学基础越来越薄弱，对一些数学概念、定理、结论的理解不够透彻，这也导致了部分学生在学习数学过程中经常遇到挫折，进而影响学习的兴趣和成效.在数学教学中引入一些有针对性的反例来说明问题，往往能取得良好的教学效果.

【关键词】中职数学;反例教学;效果

数学是中职各专业的一门重要基础课，也是终身教育的基石.然而伴随着国家逐步普及高中教育的趋势，中职学校入学门槛越来越低，学生的数学基础也呈现不断下滑的趋势.继续沿用以前的讲解定义定理，举例练习，巩固反思教学模式已经难以达到较好的教学效果.

近年的教学中，同行们也探索了兴趣教学[1]，分层教学[2]，数学应用教学[3]，多媒体教学[4]等多种教学方法，起到了一定的积极意义.但是，学生对数学课依然有典型的畏难心理，对数学学习缺乏兴趣，对数学思想方法的吸收不足.鉴于现实困境，在前面这些教学方法的基础上我在日常教学中尝试多用反例教学，从而淡化了数学问题的抽象性，增加了数学学习的生动性;提升了学生思考的积极性等，取得了一些良好的效果.

一、一些反例的应用

这里，我分享一些日常教学中应用反例教学的具体教学案例.

（一）小数与分数

在讨论集合的时候，书上说有理数集包含了整数与分数，而无理数集是由无限不循环小数组成的.有些学生提出了疑问：分数和小数不是可以相互转化的吗？

这里就有一个惯性思维的问题，平时如12=0.5，13=0.3·，以至于有些学生犯了经验主义错误，以为小数和分数都可以相互转化，这里只需举反例π就可以说明无线不循环小数是不可以化为分数的.

（二）函数的单调性

在讲解函数的单调性的时候，大多数学生对一元一次函数单调性是通过记忆自变量前面系数来判断的.而对一元二次函数，则没有固定章法，比如，f（x）=x2-x+2，有些学生为了偷懒，不愿意去深入分析，甚至简单地认为自变量x越大，函数值y就应该越大，这时候只需让大家去验证f（-1）和f（1）的大小关系，就能打消学生的危险念头，进而提醒学生学习、生活都要孜孜不倦.

（三）函数的奇偶性

关于函数的奇偶性，很多初学者容易忽略前提条件（定义域关于原点对称），比如，在很多学生记忆中，y=x2是个开口向上的抛物线，关于y轴对称.以至于在考试中，让判断y=x2在（-∞，0）上的奇偶性，很多学生不假思索地回答是偶函数，这就明显缺乏严谨思维.此时可以让学生自己去找（-1，1）的对称点，就能发现问题.

（四）函数的周期性

在讲解函数的周期性的时候，很多学生经常问这样两个问题：两个周期函数加在一起是不是还是周期函数？两个非周期函数加在一起是不是一定是非周期函数？

对这样的问题，如果从证明的角度去回答，似乎很难有较好的教学效果，此时我们不妨借助于反例来解答疑惑.比如，第一个问题：假设f（x）=x-[x]，g（x）=sinx，那么f（x）的周期是1，g（x）的周期是2π，但是f（x）+g（x）就不再是周期函数了，所以说两个周期函数加在一起不一定是周期函数.对第二个问题：假设f（x）=sinx+1，g（x）=sinx-1，那么f（x），g（x）都是非周期函数，但是f（x）+g（x）=2sinx却是周期为2π的函数，所以说两个非周期函数加在一起有可能是周期函数.

（五）反函数

在讲解反函数概念时，很多學生经常忽略反函数的存在条件是原函数要一一对应，以为只要通过表达式算出x就是反函数了.此时可以举例y=x2，它在定义域内就不存在反函数，进而提醒学生们理解数学概念一定要透彻，生活中解决问题也要细致.

（六）等差数列的求和

在介绍等差数列的求和时，我们得到前n项和计算公式Sn=（a1+an）×n2，很多学生感觉很是好用，以至于在遇到数列求和问题时就盲目使用而忽略了这个公式只适合于等差数列，此时可以举个简单例子：求数列1，2，4，7，8，9的和，如果代入公式S6=（1+9）×62=30，很显然出错了.警示了学生考虑问题要严谨.

（七）概率与频率

对初学者来说，经常把概率和频率混为一谈.比如，掷一枚均匀的硬币大家都说正面、反面向上的概率都是12，因为这个事件只有两个等可能的结果.而此时我们在课堂上让A，B两名学生分别掷5次硬币，A正面向上有4次，B正面向上有2次;可以请学生思考这里的45，25代表什么呢？只能是正面向上的频率了，困惑迎刃而解.这里也提醒了学生，在生活中不能心存侥幸，因为频率通常是不稳定的.

二、总 结

在中职数学教学中，相关知识点的反例还有很多可以挖掘，这里篇幅有限，只是作为一个抛砖引玉.反例教学在解释相关概念、定理、结论的时候可以起到事半功倍的效果，同时启发学生作逆向思维和探索，可以开拓其思维的深度和广度，加深对数学抽象概念的印象，进而体会到数学的严密性，逻辑性.便于掌握数学的思想、方法与技巧.

当然反例的构思也是一门大学问，好的反例简洁明了，不恰当的反例也可能会把问题复杂化.对教师来说除了日常的积累，更重要的是要在日常教学中发现学生容易犯错误的地方，倒推学生犯错误的原因，进而对症下药，构思出有针对性的反例来化解学生学习中的误区.总之，在中职数学教学中常用反例教学是一种积极、有效地探索，值得大力推广，不断深入发掘.

【参考文献】

[1]兰光福.中职数学兴趣教学新方法探索[J].职业教育研究，2010（8）：96-97.

[2]王庆超.中职数学“分层次教学”探析[J].科普童话，2018（31）：49.

[3]刘冠明.问题解决教学法与中职数学应用教学[J].湖南科技学院学报，2011（9）：38.

[4]冯芮.中职数学的多媒体教学[J].数学学习与研究，2012（1）：26.