例谈2019高考题中求二面角的几种方法

沈阳北软信息职业技术学院计算机系2017级软件5班(110136) 刘新飞(学生)

辽宁省黑山县第一高级中学(121400) 刘大鹏

一、传统方法

这种方法是指先找出或作出二面角的平面角，再解三角形，而作二面角的平面角通常利用三垂线定理或其逆定理.

例1(2019年高考全国II卷理科第17题)如图1，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，

(1)证明：BE⊥面EB1C1;

(2)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.

解(1)略.

(2)取CC1中点F，过B，作BP⊥CE于P，连接PF，设BC=1，则CC1=2，CF=1，Rt△CFE，所以PF⊥CE，所以∠BPF是B-EC-C1的平面角，在△PBF中，cosθ=cos∠FPB=所以

图1

图2

例2(2019年高考全国I卷理科第18题)如图2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分别是BC,BB1,A1D中点，

(1)证明：MN//平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解(1)略.

二、射影法

例3题目同例1.

解(1)略.(2)取DD1中点P，连接PE，PC，PC1，由(1)知BE⊥B1E，所以PC⊥PC1，PE⊥PC1，所以PC1⊥面PEBC，所以△PEC是△C1CE在面PEBC上的射影，不妨设AB=1，AA1=2，则所以

图3

图4

例4题目同例2.

解(1)略;(2)取AB中点F，连接MD，MF，DF，A1F，DF⊥AB，DF⊥AA1，AA1∩AB，所以DF⊥面AA1M，△A1FM是△A1DM在面AA1M上的射影，S△A1FM，所以所以

三、向量法

例5题目同例1.

解(2)建立如图5所示坐标系，设AB=1，则AA1=2，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(1,0,1)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，所以

图5

图6

例6题目同例2.

解(2)建立如图6所示坐标系，所以所以

四、利用三面角公式

如图7，记二面角B-AP-C为θ，∠BAC=θ2，∠PAB=θ1，∠PAC=θ3，则cosθ=我们把它称为三面角公式.用它求二面角不需要作辅助线，非常方便，能提高解题速度.

图7

例7题目同例1.

解(2)如图8.设AB=1，则AA1=2，EC=EC1=所以

图8

图9

例8题目同例2.

解(2)如图9.

五、利用斯坦纳定理

斯坦纳定理如图10，四面体ABCD的体积为V，记AB，CD所成的角为(AB,CD)，距离为d(AB,CD)，则

当AB⊥BC,CD⊥BC且A-BC-D为锐二面角或直二面角时，(AB,CD)=二面角A-CB-D.

图10

例9题目同例2

解(2)过N作NP⊥A1M交A1M于P，A1M⊥AM，在Rt△A1NM中，在Rt△AMP中

图11

六、强化训练

以下两个题目供读者练习.

1.(2019年高考天津卷理科第17题)如图12，AE⊥面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，

(1)略;(2)略;

图12

图13

2.(2019年高考北京卷理科第16题)如图13，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且

(1)，(3)略;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值.