例谈2019年高考全国I卷第22题的题源、题解、题群

广东省中山市濠头中学(528400) 闫伟

关键字 极坐标;参数方程;消参

一、真题呈现

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

二、探本溯源

命题背景1普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-4苏教版》教材第56页习题4.4节第2题的第(3)小题：

题1将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(t为参数).

命题背景2普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-4A版》(人教社，07年1月第2版)教材第28页例1：

题2在椭圆上求出一点M，使得点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.

考题追踪近年来不论全国卷还是各地考卷，都出现过类似的试题：

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

2.(2016年高考全国III卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

3.(2017年高考江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参考方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

4.(2017年高考新课标I卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=-1，求C与l的交点坐标;

三、考点及考情分析

本题考查了曲线的参数方程与直角坐标方程的互化以及曲线上的点到直线的最短距离，重点考查学生的运算能力，属于基础题目;本题的关键在于第一问曲线C的参数方程转化到直角坐标方程，从我校多数考生反馈的结果看，绝大多数考生不会消参数t，笔者分析可能的原因是由于平时训练时接触此类问题不多，或者不能准确的判断出曲线C是直线还是二次曲线;如能判断是二次曲线，则可从二者的平方关系中找到消参数之法;又或者学生碰到稍微陌生点的运算抑或较复杂的问题产生了紧张的心理，导致无法解出C的直角坐标方程，从而整道题目仅仅做到直线l的方程;大部分空白.可想而知，本校此题的得分率较前几年会大大降低.再看试题本身平易近人，不偏不倚，甚至连数字都设置好了，可以说是一道好题，一道该得分的题目，考前学生应该是做过大量针对性的复习，但学生反馈的结果不理想，值得深思.

四、解法探究

解析(1)直线l的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程给出以下几种消参数方法;

解法1注意到(1-t2)2+(2t)2=(1+t2)2，所以且1，故C的直角坐标方程为

解法2由一式可得二式平方得

解法3二式乘以与一式相加得到再代入二式得化简并整理得又因为故C的直角坐标方程为

解法4因为所以可令k∈ℤ，从而可得注意到故C的直角坐标方程为

评注通常的消参法有加减消参、代入消参、恒等式消参等，消参后注意变量的取值范围;解法1需要平时积累一些解题技巧，观察右边分式的特征，也可以直接判断出曲线C是二次曲线，从而利用平方关系直接消去参数;解法2、3用x,y表示参数t，再代入化简整理，此法较为常规，容易掌握，但是运算量较大;解法4根据三角万能公式的特征消去参数，技巧性强，需要学生具备一些竞赛基础知识.

(2)解法1(三角换元法—参数方程)

评注解法1的本质是依据曲线的参数方程，将几何问题转化为三角问题，利用三角函数的性质求解，是一种值得推广的常规解法.

解法2(切线平移法—数形结合)

评注解法2的本质是将直线平移到与曲线相切的位置，将椭圆上的点到直线的距离的最小值转化为两平行直线间的距离求解.

解法3(判别式法—代数方程)

评注解法3的本质是将几何问题转化为代数问题，利用一元二次方程有实根的条件进行求解.

五、拓展应用

从问题的本质理解，试题第2问的特征是以二元二次方程为限制条件求二元一次式的最值，可归纳成模型：

设x,y∈ℝ，满足ax2+by2=c，或px2+qy=r，求mx+ny的最值(其中p,q,r,m,n∈ℝ,a,b,c∈ℝ+).

解决该类问题的关键在于理解其几何意义，即圆锥曲线上的点到直线距离的最值问题，解题方法可以参考上述第2问中的三种解法—三角换元、切线平移、判别式等核心知识解决.

例1(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)是椭圆上的动点，求S=x+y最大值.

解由椭圆方程可设动点其中α∈[0,2π]，所以S=x+y=故当时，S取最大值2.

例2(2006年高考课标I卷)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是___.

解由于y′=-2x，令得切点为平行于直线4x+3y-8=0的切线方程为即切点坐标到直线的4x+3y-8=0距离最短，最短距离为

例3(2019年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上一动点，则点P到直线x+y=0的距离最小值是____.

解设曲线平行于直线x+y=0的切线的切点坐标为P0(x0,y0)，由于令可得故点P到直线x+y=0的距离最小值为

评注事实上上述模型可以一般化：设x,y∈ℝ，满足Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，求mx+ny的最值(B,D,E,F,m,n,∈ℝ,A,C,∈ℝ+).可令t=mx+ny，再与二次方程联立消去x或y，得到关于变量y或x的一元二次方程，再利用该一元二次方程有实根的必要条件(判别式Δ≥0)解决问题.

例4(2010年高考重庆卷)已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是____.

解设t=x+2y，则2y=t-x，代入已知等式并化简整理得x2-tx-t+8=0，因方程有实根，所以Δ=t2-4(-t+8)≥0，又因为x＞0,y＞0，所以t＞0，从而t≥4.当t=4，解得x=2,y=1，故x+2y的最小值是4.

例5(2011年高考浙江卷)设x,y∈ℝ，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是____.

解设t=2x+y，则y=t-2x，代入已知等式4x2+y2+xy=1，化简整理得6x2-3tx+t2-1=0，关于x的方程有实根，由判别式Δ=(-3t)2-24(t2-1)≥0，可得5t2≤8，即从而2x+y的最大值是

例6(2012高考天津卷)设m,n∈ℝ，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是____.

解因为直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，所以圆心(1,1)到直线的距离为所以mn=m+n+1，设t=m+n，则n=t-m，代入上式得m2-tm+t+1=0，再由Δ=t2-4t-4≥0，解得

六、亮点赏析

1.基于教材素材，立足于基础知识

本题的素材来源于教材，体现了高考命题“源于教材，高于教材”的指导思想.题面简洁，考查的知识点清晰，难易适中，符合学生的认知规律;试题立足于教材，以教材中的例题为源泉，既可以保证试卷的公平性，又给学生以亲切感，同时对教师的教和学生的学起到很好的导向作用.

2.解题思路宽泛，突出通性通法

本题的解法可谓灵活多样，第1问可以从关系式特征平方关系的视角入手，也可以通过配凑用x,y解出参数t的视角入手，还可以从三角万能公式的视角入手;第2问可以从三角换元、切线平移、判别式等角度入手.从不同的视角、不同的高度都可以得到解决问题的思路，但不同的思路运算的复杂程度也不尽相同;对于解决此类条件最值问题的通性通法的考查也是一大亮点，在解题教学中要把通性通法的训练当做重头戏，要让学生独立思考、尝试解答，通过展示和交流，在问题求解中掌握解题策略和方法.

3.着眼数学素养，考查学习潜力

本题很好的体现了高考对数学核心素养和学习潜力的考查，特别是对运算素养的考查体现的淋漓尽致;很多考生解题思路清晰，解题目标明确，就是要搞定曲线的直角坐标方程，但却在运算上遇到阻碍，不能选择恰当的方法来消去参数导致功亏一篑，造成遗憾.提高数学核心素养，培养学生的学习潜力尤为重要，在今后的教学中要引起高度重视.