一道2019年高考圆锥曲线试题的探究与发现

广东省深圳实验学校高中部(518055) 喻秋生

1.问题的提出

2019年高考(北京卷)文科第19题是一道关于直线过定点问题，该试题如下：

(I)求椭圆C的方程;

问题已知椭圆点A为椭圆C的上顶点(或下顶点)，O为原点，不经过点A的动直线l:y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若xM·xN=λ.试问：直线l是否经过定点?

2.问题的探究

我们先研究点A为椭圆C的上顶点情况，即点A坐标为A(0,b).

联立

消去y并整理，得

设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则

将(∗)式代入上式，化简得(t-b)[(λ-a2)t-b(λ+a2)]=0，因为直线l不经过点A，所以tb，则(λ-a2)t=b(λ+a2)，当λ=a2时，上式不成立，当λa2时，直线l方程为直线l经过定点

因此，我们得到结论：

结论1已知椭圆点A为椭圆C在y轴上的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l:y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且xM·xN=λ(λa2).若点A为椭圆C的上顶点，则直线l经过定点若点A为椭圆C的下顶点，则直线l经过定点

当点A为椭圆C在x轴上的顶点，也有类似的结论：

结论2已知椭圆点A为椭圆C在x轴上的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l:y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ(λa2).若点A为椭圆C的左顶点，则直线l经过定点若点A为椭圆C的右顶点，则直线l经过定点

3.问题的推广

如果曲线C为双曲线，也有类似的结论：

结论3已知双曲线点A为双曲线C的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l:y=kx+t与双曲线C交于两个不同点P,Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ(λ-b2).若点A为双曲线C的左顶点，则直线l经过定点若点A为双曲线C的右顶点，则直线l经过定点

证明当点A为双曲线C的左顶点时，点A坐标为A(-a,0).联立

消去y并整理，得

设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则

将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，化简得

将①式代入上式，化简得λ(ak-t)2=b2(a2k2-t2)，因为直线l不经过点A，所以ak-t0，则

4.问题的进一步推广

在前面的研究中，我们给定的点A是椭圆(或双曲线)的顶点，如果点A在坐标轴上，但点A不是圆锥曲线的顶点，直线l是否经过定点?

对于抛物线，有下面结论：

结论4已知抛物线C:y2=2px(p＞0)，点A(m,0)(m＞0)，O为原点，动直线l:y=kx+t与抛物线C交于两个不同点P,Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ(λ0).当且仅当时，直线l经过定点或定点

证明联立消去y并整理，得k2x2+(2kt-2p)x+t2=0，设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则

要使直线l经过定点，k、t之间必须是一次函数关系，即③式左边必须是一个完全平方式，则有4λm2·λ=0，解得事实上，当时，③式整理，得(t-mk)2=2pm，即当时，直线l方程为直线l经过定点当时，直线l方程为直线l经过定点

类似地，对于曲线C为椭圆、双曲线时，同理可以得出下列结论(证明过程略)：

结论5已知椭圆点A(0,m)(m±b)，O为原点，动直线l:y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且xM·xN=λ(λ0).当且仅当|m|＜b且时，直线l经过定点或定点

结论6已知椭圆点A(m,0)(m±a)，O为原点，动直线l:y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ(λ0).当且仅当|m|＜a且时，直线l经过定点或定点

结论7已知双曲线点A(m,0)(m±a)，O为原点，动直线l:y=kx+t与双曲线C交于两个不同点P,Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ(λ0).当且仅当|m|＞a且时，直线l经过定点或定点