对一个不等式推广的纠正和拓展

陕西省岐山县蔡家坡高级中学(722405) 公宽让

1.问题

《数学通报》2018年第5期问题2421[1]如下：

已知a,b,c∈ℝ+，且a+b+c=3，求证：

文[2]对问题2421的推广如下：

(1)设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则

(2)设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则

(3)设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则对任意正整数k，有

(4)设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则对任意正整数k，有

笔者发现，上述(2)、(4)有问题.当n=3时，(2)中的不等式为不是问题2421;当k=1,n=3时，(4)中的不等式也为不是问题2421.可见，文[2]中的(2)、(4)不是问题2421的推广.

2.纠正

经笔者探究，对文[2]中(2)、(4)的错误分别纠正如下.

定理1设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则

证明由均值不等式，有

定理2设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则对任意正整数k，有

证明由均值不等式，对j=1,2,...,n有

3.拓展

文[2]及上面的研究只是对问题2421按其形式(根指数为大于等于4的偶数)作了推广，其实，问题2421还可以拓展到更一般的情形.

(1)问题2421的拓展

定理3设a,b,c∈ℝ+，且满足a+b+c=3，则对任意正整数k，有

证明由均值不等式有，

(2)问题2421拓展的推广

定理4设a1,a2,...,an(n≥3)是非负实数，且满足则对任意正整数k，有

证明由均值不等式，有