一道物理题中向量和为零的数学问题

河南省实验中学(450002) 贾玉明

常言道：“数学物理不分家”.在物理研究中离不开数学知识，数学研究中离不开物理背景，两者相互依存，相互促进.就像伟大的物理学家、数学家牛顿，在研究物理问题时，创建了很多数学理论，如微积分、广义二项式定理等等，尤其是微积分，促进了数学分析这一分支的产生，并进一步发展为微分几何、微分方程等等，而这些数学理论反过来促进了理论物理学的发展.

一、问题提出及分析

在物理教学过程中，也常常会遇到一些数学问题.一次办公室的物理老师遇到这样一道问题：

如图1所示，abcde是半径为r的圆内接正五边形，在其顶点a,b,c,d处各固定有电荷量为+Q的点电荷，在e处固定有电荷量为-3Q的点电荷，则放置在圆心O处的点电荷-q所受到的静电力的大小为______，方向为______.

图1

图2

如果把e处的点电荷看成是+Q和-4Q的点电荷，那么放置在圆心O处的点电荷-q所受到的静电力就是a,b,c,d,e处电荷量为+Q的点电荷对点电荷-q的作用力加上e处电荷量为-4Q的点电荷对点电荷-q的作用力.很容易“感觉”到：a,b,c,d,e处电荷量为+Q的点电荷对点电荷-q的作用力之和应该为零，但这怎么来说明呢?物理老师需要一个专业准确的解释.笔者经过推理计算证明了上述猜想，并且发现这是一个有趣的数学问题，可以从多个角度来说明.

二、问题转述及证明

下面将问题转述为数学问题：

设五边形P1P2P3P4P5是圆O的内接正五边形，证明：

证明如图2所示，设直线OPi(i=1,2,3,4,5)与正五边形P1P2P3P4P5的内角∠Pi所对的边交点为Ai，由对称性可知，Ai为其所在边的中点，由向量运算法则知以上五个式子两端同时相加得：即由于共线反向，则其中λ=-cos36°，从而故而1-λ=1+cos36°＞0，所以

三、问题推广及证明

事实上，上面的结论可以推广到一般情况，对于圆O的内接正n边形P1P2P3···Pn(n≥3且n∈ℕ∗)，上述结论都成立，即可得下面的定理：

定理对于圆O的内接正n边形P1P2P3···Pn(n≥3且

按照n=5时的证明方法，当n为奇数时均可同样证明定理，当n为偶数时，设n=2k(k∈ℕ∗,k≥2)，由正n边形的性质可得：则下面从其他角度给出定理的证明.

角度1：向量的旋转与共线

证明一由正n边形的性质知，中任意相邻两个向量夹角均为将每个向量绕旋转之后，依次变为向量(i=1,2,···,n-1)，向量变为向量但旋转前后n个向量的和不变，始终为也就是说，旋转之后仍为而非零向量旋转且n∈ℕ∗)，之后得到的向量与原向量不共线，故

评注此法从旋转前后两个向量和不变得出此向量和为零向量，构思非常巧妙，较好地体现了想象能力与逻辑推理能力.

角度2：参数坐标与三角运算

在介绍证明二之前先来看两个引理：

引理一对∀n∈ℕ∗，有

证明由积化和差公式可得(其中i∈ℕ∗)，由和差化积公式得则

引理二[1]对∀n∈ℕ∗，有

证明由积化和差公式可得(其中i∈ℕ∗)，由和差化积公式得则

以上两个引理在数学中具有重要作用，尤其是在傅里叶级数展开相关理论证明中是关键的一步(进一步了解可参考文献[1]第十五章).下面应用这两个引理给出定理的第二种证明.

证明二设圆O的半径为r，以O为原点建立适当的平面直角坐标系使得与x轴非负半轴夹角为且P1在第一象限，假设圆O的内接正n边形P1P2P3···Pn顶点按逆时针排列，则由圆的参数方程可知，(i=1,2,···,n)，从而

评注这个角度将问题坐标化，不仅用到圆的参数方程，还用到三角变换技巧—和差化积与积化和差，将几何问题、解析方法、三角变换有机结合起来.

角度3：复数乘积及其意义[2]

由于向量与复数之间可建立一一对应关系，因此，也可以从复数的角度来考虑.复数z乘以一个复数，表示将z进行伸缩和旋转，从这个角度，可以与角度1相呼应，并且从具体运算得出结果，下面用复数理论给出证明三.

证明三假设向量对应的复数为zk(k=1,2,···,n)，则zk旋转后即为zk+1(k=1,2,···,n-1)，从而zk+1=zk·1)，设由棣莫弗公式得zn=cos2π+isin2π=1，从而可得：对应地，

评注向量、复数、三角函数之间存在着紧密联系，本文中定理的不同证明方法正体现了它们之间相互联系，角度3将向量的运算转化为复数的运算，借助棣莫弗公式大大简化了角度2中的运算过程，复数乘积的几何意义及棣莫弗公式可参考文献[2]第12页至13页.