“概率”能确定“事件”吗？

广东省广州市番禺区实验中学(511400) 潘神龙

“事件”是高中教材新课程人教A版必修3第三章《概率》中的基本概念，这个概念是建立所考察试验的各种概率模型(“理论”)的基础.事件的本质是集合，遵循集合的运算法则.在利用概率知识解决实际问题时，我们先理清事件之间的关系与运算，再确定概率之间的关系.

但是，在概率的学习中，“概率代表了事件”、“概率之间的关系可以确定事件之间的关系”这些隐蔽的错误观念还是很常见.不少学生、甚至包括一些教师认为：概率为0的事件是不可能事件;概率为1的事件是必然事件;如果事件A与事件B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)，那么事件A与事件B互斥;等等.这些错误的观念一旦形成就很难纠正，不仅影响学生对“事件”、“概率”概念的理解，还会阻碍后续概念的学习.

在本文中，笔者列举了10个常见的命题，并研究它们的逆命题，得到结论：在许多情况下，概率不能确定事件，概率之间的关系不能确定事件之间的关系.具体如下：

①事件A是不可能事件=⇒P(A)=0.

②事件A是必然事件=⇒P(A)=1.

③事件A包含事件B=⇒P(A)≥P(B).

④事件A与事件A相等B=⇒P(A)=P(B).

⑤事件A与事件A互斥=⇒P(A∪B)=P(A)+P(B).

⑥事件A1,A2,···,An互斥=⇒P(A1∪A2∪···∪An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).

⑦事件A与事件B互斥=⇒P(A)+P(B)≤1.

⑧事件A与事件B对立=⇒P(A)+P(B)=1.

⑨事件A,B,C互相独立=⇒P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

⑩事件A1,A2,···,An互相独立=⇒P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An).

下面，我们将通过几何概型中的具体例子—-“在[0,1]上随机选取一个数x”，对这10个命题的逆命题进行研究.

如果事件A的对应区域是一个单点，由于单点的长度为0，P(A)=0.

例1事件A={x∈[0,1]|x=0.5},P(A)=0，但事件A不是不可能事件.

如果事件A的对应区域是整个样本空间的对应区域去掉一个或有限个(甚至是可列个)点，那么P(A)=1.

例2事件A={x∈[0,1]|x0.5},P(A)=1，但事件A不是必然事件.

不可能事件与必然事件可看作是随机事件的两种特殊情况.不可能事件、概率为0的事件、必然事件、概率为1的事件之间的关系如下：

由此可知，不可能事件是概率为0的事件，反之不对.这是因为：若事件A是不可能事件，则事件A的对应区域是空集;若事件B是概率为0的事件，则事件B的对应区域的长度(本质上是测度)为0，即事件B的对应区域可以是空集、一个或有限个(甚至是可列个)点.

同理，必然事件是概率为1的事件，反之不对.

例3事件A1={x∈[0,1]|x＞0.5}，事件B1={x∈[0,1]|x=0.5}，则P(A1)≥P(B1)，但事件A1与事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A2)=P(B2)，但事件A2和事件B2对立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A3)=P(B3)，但事件A3不包含事件B3.

一般的，若事件A包含事件B，令A-B表示事件A发生而事件B不发生，则P(A)≥P(B)，且P(A-B)=P(A)-P(B).反过来，若“事件A,B,C满足P(A)≥P(B)，且P(C)=P(A)-P(B)”，并不能说明“A=B∪C，且事件B与事件C互斥”.

例4事件A1={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B1={x∈[0,1]|x＞0.5}，则P(A1)=P(B1)，但事件A1和事件B1互斥;事件A2={x∈[0,1]|x＜0.5}，事件B2={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A2)=P(B2)，但事件A2和事件B2对立;事件A3={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B3={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A3)=P(B3)，但事件A3与事件B3不相等.

⑥事件A1,A2,···,An互斥An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An).

事实上，即使P(A)＞0,P(B)＞0,且P(A∪B)=P(A)+P(B)，也不一定有事件A与事件B互斥.

例5事件A={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，但A∩B={0.5}，事件A与事件B不是互斥.

一般的，根据概率容斥公式：

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

反过来，若“事件A,B,C,D满足P(C)=P(A)+P(B)-P(D)”，并不能说明“C=A∪B，且D=A∩B”.

事实上，P(A)＞0,P(B)＞0,且P(A)+P(B)=1，也不一定有事件A与事件B互斥(对立).

例6事件A={x∈[0,1]|x≤0.5}，事件B={x∈[0,1]|x≥0.5}，则P(A)+P(B)=1，但A∩B={0.5}，事件A与事件B不是互斥(对立).

⑩事件A1,A2,···,An互相独立P(A1)P(A2)···P(An).

例7事件事件B=事件则P(ABC)=P(A)P(B)P(C).但是，P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C).所以，事件A,B,C不是互相独立.

至此，以上10个命题的原命题均为真命题、逆命题均为假命题.这说明当我们确定概率之间的关系时，往往还不能确定事件之间的关系.

这是因为概率论与数理统计这门学科是从数量的层面来研究随机现象的统计规律性，概率只是刻画事件发生可能性大小的数量指标.前苏联数学家A.H.柯尔莫戈洛夫认为，由纯数学观点来看，“概率”乃是“事件”的数值函数，这个函数具有某些公理化所固定下来的性质[3].所以，概率与事件并不是一一对应的，更不是等价的.所以，在利用概率知识解决问题时，我们最好先理清事件之间的关系与运算，再确定概率之间的关系;反过来，却不一定正确.