高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究

周发奎

摘  要：在高考数学当中圆锥曲线是非常重要的一项考查内容，重点运用了引参消参、数形结合、设而不求以及等价转换等基本方式对其具体的最值问题进行解答，是高考数学当中占比比较重的一类题目。基于此，本文就将重点对其常见题型和解题方法进行探究，以供参考。

关键词：圆锥曲线;最值问题;解法

引言：

在历年的高考数学当中，圆锥曲线题不但是分值比较重，而且其题目类型灵活多样，具有很强的综合性，经常会放在试卷的最后作为一道压轴题出现。在这之中最常见的就是圆锥曲线的最值问题，这是因为它涉及范围比较广，会运用不等式、函数以及三角函数等知识内容，同时考察的方式也都比较灵活，除了能够对大家基础知识的掌握能力进行考查之外，还可以将数学思想及解题方式的能力展现出来，所以一般要求都非常高，同时难度也很大，大家在复习的过程中必须要细致认真地备考。

一、解题方式

（一）常见的解题思想方法

第一种，几何法。主要就是运用数形结合的思想，通过圆锥曲线的相关定义、性质以及图形等内容把题干当中的已知条件直接转化成为平面几何图形，然后再运用平面几何的相关知识内容去解决问题，比如运用两点之间的线段最短、点到直线的垂线段最短等等。

第二，代数法。在已知条件之下构建目标函数，将其转换成为函数的最值问题，再通过判别式、配方法以及不等式法等通过函数单调性与参数法等去对最值进行求解[1]。

（二）运用方法的注意事项

在使用第一种方法的时候，只要涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，就需要把圆锥曲线的第二定义运用进去，通过数形结合的方式去解答题目，并画出来直观的图像，对代数式的含义进行分析，进而将数形实施有机转化，达到良好的解题效果。

一般配方法经常和二次函数相互联系，并从二次函数图像和自变量范围当中求得最值。倘若无法确定对称轴的位置，就还要进行分类讨论。

把目标函数转化成为和 有关的二次方程 ，并且方程有实根的时候，就可以运用判别式法，从 求解。

通过均值不等式能够求得最值的，但是必须要注意基本条件，即“一正、二定，三相等”[2]。

在使用函数单调性的时候，如果不是初等函数，就可以应用求导对其单调性进行求解，掌握自变量的范围，最终求得最值。

在运用参数法的时候必须要注重引入参数前后的等价性。

这种方式是最常规的一种解法，除此之外还可以直接求得 和 的自坐标，因 是在曲线上的，所以能够从韦达定理当中将 的坐标求出来;然后因为 ，所以只要再把 找出来，联立起来方程，通过韦达定理最终也能够求出来答案。除此之外由于 各个边所在的直线斜率是已知的，那么就可以直接把夹角公式运用进去，即 ，接着再套入进行计算即可。夹角公式在处理几个问题角度的时候是最常用的一种工具，教材当中已经没有了夹角公式，这是因为向量问题完全可以处理夹角，和向量有关的夹角公式包含有坐标和长度，但是斜率也是直线当中的一项基本要素。所以对于那些学习程度比较好的学生还是需要掌握一下的。

（二）其它最值

例2：已知抛物线 。

（1）如果橢圆左焦点和其准线与抛物线的焦点 与准线 分别重合，求椭圆短轴端点 和焦点 连接的重点 其轨迹方程。

（2）如果 是 轴上的一个定点， 是（1）轨迹上的任何一点，那么 是否存在最小值？如果有，请说出理由。

评析：（1）考察的是通过数学知识构建曲线方程;（2）这种最值问题建立的相对比较简单，困难的地方就在于怎样解答带有参数和自变量有取值范围的函数最值。在具体解答的时候就需要将配方法运用进去，重点对二次函数图形性质以及分类讨论的经典数学思想进行考察，最终求得最值。在分类讨论当中字母是非常重要的一个点，想要解答这一题目必须要有一定的逻辑推理能力及分析问题的能力。

三、结束语

总的来说，圆锥曲线最值问题不仅自身是高中数学当中最重要的一项知识点，还容易和其它的数学知识之间建立联系，因此题目非常灵活多变。在具体解题的时候必须要运用到方程、函数以及图形关系、不等式等去进行解决，尤其是数形结合和转化等数学思想。学生们在分析和解答该类题目的过程中必须要严格身体，找到其中的隐含内容，灵活地进行转化和推导，最终找到最适合的解题思路与方法。

参考文献：

[1] 张妙安. 探究圆锥曲线中的最值问题[J]. 数理化解题研究，2019（12）：11-12.

[2] 孙威. 高考中圆锥曲线的最值问题解法探讨[J]. 中学教学参考，2019（5）：24-24.