“阅读与思考——错在哪儿”教学设计

王毅

摘要：人教A版的数学教材中设置了“阅读与思考”这一板块，其被定义为补充性或辅助性知识，对培养学生数学阅读能力、自主探究能力都具有非常积极的作用。教师对这部分内容应予以重视，进行科学合理地处理，以辅助教学，获得更好的成效。“阅读与思考——错在哪儿”的教学设计给出了处理这部分内容的示例。

关键词：不等式;问题探究;相互制约

人教A版的数学教材中设置了“阅读与思考”这一板块，其被定义为补充性或辅助性知识，既能帮助学生更好地理解相关知识，又能综合运用相关知识解决问题，注重知识与方法的延伸和拓展，对培养学生数学阅读能力、自主探究能力都具有非常积极的作用。因此，教师对这部分内容不能“视而不见”，应予以重视，并科学合理地处理这部分教学内容，以辅助教学，获得更好的成效。

“阅读与思考——错在哪儿”的教学设计设置于人教A版必修5介绍不等式性质及线性规划之后，需要学生综合运用这些知识对一类不等式取值范围问题进行探究，引导学生分析错误的根源，理解变量的相互制约关系。在此基础上，掌握该问题的两类正确解法，并注意变量相互制约关系在解题中的应用。如下是本文所构建的教学设计：

1教学目标

（1）综合运用不等式相关知识对一类不等式取值范围问题及常见错因进行探究，掌握处理该问题的两类正确解法;

（2）理解变量的相互制约关系，并注意变量相互制约关系在解题中的应用。

2 重点与难点

重点：对解决该问题的线性规划法（几何法）和待定系数法、换元法（代数法）的掌握。

难点：对错误解法的分析，特别是对变量相互制约关系的理解。

3 教学过程

（1）问题回顾

例·已知 1≤x≤3 ，求

-1≤y≤1

（1）3x+y的取值范围;

（2）y-x的取值范围。

师：请同学们回顾这样一个熟悉的不等式取值范围求解问题，给出你的答案。

生：第（1）问的答案是[2，10]，第（2）问的答案是[-4，0]。

师：能谈一谈第（2）问的求解思路吗？

生：先求-x的取值范围，再用y+（ -x）得到答案。

师：很好！实际上由r的范围求z的范圍利用了不等式性质4：如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d。

【设计意图】从简单问题人手，通过问题解决回顾相关基础知识和基本方法。于问题解决中融入知识回顾、方法梳理，为后面核心问题探究做铺垫。

（2）问题变式

例2已知1 ≤x+y≤3，求4x+2y的取值

-1≤x-y≤1范围。

师：我们把问题变一下，请同学们再试着解决。

生：在课堂练习本上自主完成。

师：巡视、指导、收集代表性解法。

+2y≤12。

生2：令x=4x+2y，则y=2x+z/2，利用线性规划方法可得2≤4 x+2y≤10。

【设计意图】引出核心问题，放手让学生自主解决，充分体验先犯错，再纠错的过程。

①探究一错在哪儿？

师：两种不同的思路，得到两种不同的结果，那么至少有一种思路是错误的。请学习小组展开讨论，同学之间相互质疑、纠错。

生：在学习小组的讨论中充分发表个人观点。

师：请学生代表发言。

生3：生1的做法从第一步到第二步推导正确，第二步到第三步也是正确的，所以我认为生1的做法是对的。

生4：用几何画板验证生2的线性规划法，正确。

师：在学生发言基础上，从线性规划角度和变量相关性角度分析错因，强调变量之间的相互制约关系。

从线性规划角度：可行域变大;

从变量相关性角度：前者变量相互制约，后者变量相互独立。

【设计意图】通过学生独立思考、生生互动、师生互动等多种方式，形成思维碰撞，理清出错根源，并提炼出第一种正确解法——线性规划法。

②探究二这样做对吗？

师：线性规划法是我们从形的角度解决此类问题的方法，刚才我们还找到了从代数角度利用不等式性质处理问题出错的根源在于破坏了变量之间的相互制约关系。既然找到了问题的症结所在，那我们可以重新尝试代数法解决问题。

再两式相加：2≤3（x+y）+（x-y）≤10，即2≤4x+2y≤l0。

师：尽管该同学的答案是对的，但我仍心存疑虑。因为整个处理过程和生1的错误思路非常相似，这样做真的对吗？

生：这一步：4 x+2y=3（x+y）+（x—y）整体代换保持了变量的相互制约关系，所以我认为是对的。

师：从技术处理层面，这个式子4x+2y=3（ x+y）+（x-y）是怎样得到的？

生：凑出来的。

师：很好！但如果系数比较复杂，不好凑，我们可以用待定系数法解决，从而引出对待定系数法的介绍。

【设计意图】引导学生在不破坏变量制约关系前提下从代数角度解决问题，通过与相似的错误思路对比，让学生在对比中感悟方法的关键点，介绍待定系数法。

③探究三源问题和问题变式有什么联系？

求3x+y的取值范围。求4x+2y的取值范围。

师：既然从代数角度仍然可以利用不等式的性质进行处理，那么参照源问题，两者有没有什么联系？

生：换元试试，令m=x+y，n=x—y，则问题转化为已知1≤m≤3，求3m+n的取值范围。

-1≤n≤1

师：这实际上就转化为我们的源问题了。在转化过程中，坐标系发生了旋转伸缩变换。我们将在今后高等数学的学习中有所接触。

【设计意图】引导学生尝试将问题变式转化为源问题进行处理，介绍换元法，体悟转化与划归的数学思想方法。

（3）方法提炼

师：通过探究，同学们对这类问题的处理方法已经比较清楚了。具体有哪些方法？

生：有两类，一类是几何法，即线性规划法，一类是代数法，即待定系数法或换元法。

【设计意图】培养学生养成解题后及时反思总结的习惯。

（4）巩固练习

练习：设f（x） =ax2 +bx满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围。

师：请同学们完成巩固练习。

生：公布答案并指出所用方法。

【设计意图】加强学生对方法的过手训练。

（5）拓展训练

判断下列解题过程的正误，并说明理由。

①∵sinx的最大值为l，cOsZ的最大值为1，∴y=sinx+ cosx（x∈R）的最大值为2。

师：我们收集了同学们平时的一些常见做法，结合今天的探究内容，我们回头再看看这些做法对吗？为什么？

生：独立思考、小组讨论、思路分享，上面三题均是由于忽略变量的相互制约关系而出错。

【设计意图】梳理因忽略变量相关性而出错的一些试题，触类旁通，加深对变量相互制约关系的认识，突出对数学思想方法本质的理解。

（6）课堂小结

师：通过今天的共同学习讨论，你有哪些收获？

生：充分发表自己的观点。

师：再进行补充提炼。

4 課堂节外生枝

在完成问题探究，进入方法提炼环节，突然有学生举手提问。

（1）学生思路展示

解：由不等式1≤x+y≤3①

-1≤x-y≤1②

①+②得0≤2x≤4③

①×2得？2≤2x+2y≤6④

③+④得？2≤4x+2y≤10

这样做可以吗？

（2）问题解决过程

①针对学生问题，引导同学们开展小组讨论;

②学生代表发言，认为做法破坏了不等式的整体性，答案正确具有巧合性;

③教师利用几何画板验证说明。

（3）结论

该同学在不等式处理过程中破坏了变量之间的相互制约关系，前后不等式组不等价，这样的处理方式显然是错误的。之所以答案正确，是数据设置的巧合而已。

5 教学反思

通过这节公开课的教学尝试，我们认识到人教A版的阅读与思考这一拓展性板块，它篇幅短、内容新、阅读性强，集知识性、科学性、趣味性、教育性于一身，是对教材正文内容的补充、拓展和运用，教师应引导学生用好这块内容，提高学生解决数学问题的能力。而对于这一板块的学习，根据内容的不同，教师可采用鼓励学生课后阅读自学、引导学习小组开展合作学习、在教师指导下开展课堂探究学习等多种方式进行。本节课采取的是第三种学习方式，课堂氛围好，学生很快融入其中，特别愿意主动去思考。在课堂小结的时候有学生还谈到，通过今天的学习，他们感悟到解决数学问题应该大胆猜想，小心求证。无论哪种学习方式，我们都应该倡导学生更加主动地进行探究、交流和合作，在交流过程中，教师应鼓励学生大胆质疑，课堂应允许节外生枝，这节课在方法提炼环节，有学生突然举手提问，对问题有不用的解法，对解法的正确性存在疑虑，这一环节不在教师的教学预设范围内，甚至打乱了教师原本的教学安排。但在问题的解决过程中.我们不仅解答了同学的疑问，还再次加深了全班同学对变量相互制约关系的理解，收到了较好的教学效果。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版）[Ml.北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃，高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程.教材.教法，2016，36.

[3]郁盛东，“意外”的课堂

有效的教学[J].中学数学研究，2009（3）.