分析法探究平面几何证明思路示例

郑蕾聪 张昆

【摘 要】平面几何知识对培养学生的逻辑思维和理性思维具有其他学科难以替代的功能。在数学课程改革的现阶段，出现了平面几何“推理难教”与“人人能学”之间的矛盾，学生难以掌握和适应严谨又形式化的推理方法。在学生入门平面几何证明时，教师该如何设计教学，启发学生习得探究平面几何推理论证思路的有效方法，是教师教学研究的重中之重。分析法能帮助学生从错综复杂的条件中抽离出来，找到一条由未知通向已知的道路。

【关键词】平面几何;教学设计;分析法

【作者简介】郑蕾聪，淮北师范大学数学科学学院硕士研究生;张昆，中学高级教师，现供职于淮北师范大学数学科学学院、安徽省淮北市第一中学（兼职）。 平面几何知识具有培养学生逻辑思维和理性思维的教育价值，是义务教育阶段不可替代的优质课程资源。平面几何证明要求学生具有严密的逻辑性，严谨的语言表述和较强的作图、识图能力，但这些也是很多学生在短时间内难以掌握的知识技能和能力。在学习过程中，学生对稍复杂的命题，时常不能一次性正确解答，需要教师运用恰当的数学方法启发他们获得证明思路。其中，分析法在平面几何推理论证学习中应用广泛。因此，本文对分析法在探究平面几何命题证明思路中的价值做了一些探索。

什么是分析法呢？牛顿在谈到分析法时指出，一般说来，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，直到论证止于最普遍的原因为止，这就是分析的方法[1]。通俗地说，分析法是“执果索因”的方法。张乃达先生认为，分析就是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察的认识活动[2]12。由此可知，分析是未知向已知的化归手段，分析法在科学发现中的作用在于通过分解、析取等步骤和操作，实现未知与已知的联系，从而为综合创造条件，达到认识与创新的目的。分析法的基本思想可归纳为由“未知”（“果”）探求“需知”，这些“需知”构成了“中途点”[2]61。如此，环环紧扣逐步向前推，直至找到已知条件为止。需要加以说明的是，“需知”形成了新的“果”，这个“需知”的“果”便作为探究活动中的“中途点”，接着再寻求这个“中途点”产生的原因，从而建立新的“中途点”，由此实现要证明的结论对题设条件的导向。“中途点”的产生往往具有猜想的成分，这正是人的意识能动性在寻求平面几何证明思路中的有力体现。

在长期的教学实践中我们认识到，虽然初中生学习了很多关于平面几何证明的定理（公理）及其逻辑推理，但对定理的理解很难达到准确的程度，对定理结构层次也难以精确领会。学生在应用定理（公理）解决问题时，对问题的把握往往也是混沌一片：分不清命题的题设和结论的关系，作不出比较准确的几何图形等。我们发现，证明命题结论最终都由已知条件构成。但在寻找这些已知条件时，尤其对于稍微复杂一点的命题，很少能一击即中地达到目的，经常要配合所用定理（或公理），先寻找出“需知”，再利用这些“需知”来调控已知对结论的决定性作用[3]。这些都构成了平面几何推理论证入门时教师施教与学生学习的疑难。

在探究平面几何证明思路中，“执果索因”分析法是处理信息、探索思路的基本方法之一。学生掌握了平面几何基本知识后，运用这些知识进行证明活动也不是一蹴而就，它必须有一个探究、发现并组织成顺应逻辑取向的思路活动过程。这个探究活动过程的产生在于某些有效思维方法的运用。因为在大多数情况下，问题的结论对于探索活动的定向作用更强烈、更有用，所以在平面几何推理论证的起始学习中，分析法是学生掌握探究证明思路的一种行之有效的方法。

数学教师在平面几何推理论证入门的教学中，合理地引入探究平面几何证明思路的分析法，可以将错综复杂的元素关系转变为比较线性化的元素关系，从而降低学生需要的逻辑思维强度，减少探究平面几何证明的思路难度，发挥平面几何推理论证知识的教学价值，实现平面几何推理论证知识的教学目标。分析法对于教师施教和学生学习平面几何学的相关知识都有更大的教学效益。因此，本文通过一个典型的教学课例，探讨分析法在探究平面几何命题证明思路教学中的作用。

陆游诗曰：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”俚语云：“理在用中方知妙。”在数学课堂教学活动中，理论说教往往是苍白的，因此教师在探究平面几何推理论证解题思路时，一定要选择典型的例题与习题，通过分析学情，有效作用于学生心理，从而经由学习活动促使学生形成基本的探究方法，获得相应探究思路的几何观念。下面是一个课堂教学活动中的例子（省略号表示学生思维活动的暂时中断）。

师：同学们，对于这道题的证明，我们先采用了由因導果的综合法，但没有成功。后来我们换了思路从问题的结论出发，一步一步追溯导致结论成立的原因（条件、“替身”），直到论证止于最普遍的原因（条件、“替身”），最终成功地证明了这个命题。像这样“执果索因”探究证明思路的方法叫分析法。在多数情况中，分析法常运用于探究平面几何命题的证明思路。同时，由于同一问题的结论可能由很多原因（条件）导致，因此我们还要考虑如何迅速确定或缩小探索范围。总而言之，大家要通过这次证明思路的探究活动过程，好好体会分析法的价值。

在寻找平面几何证明思路时，遇到稍微复杂的题设条件，便需要获得这些条件之间恰如其分的配合形式，这对学生来说是一件不容易做好的事情，需要教师的有效帮助。平面几何命题证明入门较难，原因主要在于有的教师没有找到有效的教学方法。

我们说，教学是艺术，不是科学。现代数学教学理念提倡“以人为本”，因此教师在设计、实施课堂教学方案或组织各类教学活动时，要站在学生的心理角度思考问题，要不断地对自己提问：这样教学能引导学生积极参与到学习的过程中吗？能让学生感受到数学的价值吗？能使学生愿意学、喜欢学，对数学感兴趣吗？探究平面几何证明思路的分析法是在这种师生、生生对话之间萌生的，是学生在教师和学生的相互启发下实现的。平面几何命题证明是培养学生理性思维的重要环节之一。教师在教学研究中，要对重难点认真深入思考，引导学生分析、探究，透过图形的表象发现图形某些关系的本质，使学生的几何推理论证思维结构不断形成。

参考文献：

[1] 章士嵘.科学发现的逻辑[M].北京：人民出版社，1986.

[2]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[3]张昆，张乃达.探究辅助线方法的教学设计研究：平面几何命题证明入门教学的视点[J].中学数学杂志，2017（4）：9-12.