用“动态化教学”发展空间观念

毛新薇

摘要：在“图形与几何”领域，教师如果能够主动运用运动变化的观点，实施动态化教学，就能让学生获得直观的动态体验与动态的直观表象，从而更好地理解几何概念、结论与图形属性、关系，发展几何思维水平与推理能力，提升空间观念。在界定动态化教学内涵、解读动态化教学价值的基础上，寻绎动态化教学策略：提炼动态手法，包括动态操作、动态想象、动态演示;捕捉动态元素，包括基于教材内容的原生性元素、达成教学目标的融入性元素、凸显核心素养的拓展性元素;开展动态实践，包括动态形成让本质属性“显”起来、动态研究让内在规律“明”起来、动态梳理让认知结构“建”起来。

关键词：动态化教学空间观念图形与几何

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将发展学生的空间观念作为核心目标之一。在“图形与几何”领域，教师如果能够主动运用运动变化的观点，实施动态化教学，就能让学生获得直观的动态体验与动态的直观表象，从而更好地理解几何概念、结论与图形属性、关系，发展几何思维水平与推理能力，提升空间观念。

一、“图形与几何”领域动态化教学的内涵界定

（一）基本内涵

“图形与几何”领域的动态化教学，是指教师立足于教材内容的“定态”现状，创设一个（或一系列）由静止的“定态”到按某种规律运动的“动态”情景，在运动变化中帮助学生从多角度、更直观地对图形的元素及其关联进行观察，获得动态表象，再通过想象、联想、分析、综合、归纳、演绎等手段，揭示某一图形的本质特征或图形之间的本质联系。

“图形与几何”领域动态化教学的内涵十分丰富。其教学本质是把抽象的图形知识转化成动态的具体表象。其实施方法，一是语言表达，通过语言联想相应的图形，并做动态演示;二是图形表达，通过系列图形想象变化样态，再做动态演示;三是语言、图形、演示相结合的动态变化。其中，第三种方法为最佳。其核心目标是丰盈几何学习，丰富动态想象，形成动态思维，发展空间观念。其学理价值包括“动态地做”（几何学习活动经验的获取）、“动态地想”（几何学习空间表象的建立）和“动态地思”（几何学习思维水平的优化）。

（二）基本特质

1.富有张力的活泼性特质。

动态充满神奇，孕育创造。图形因运动变化而充满活力与张力。动态化教学让静止的图形“动”起来、“活”起来，让数学课堂富有灵性与弹性，释放独特的魅力。

2.积极探究的能动性特质。

变化的事物容易吸引学生的注意，引发学生的惊叹，激发学生学习的兴趣。学生在直观中发现理性，在变幻中感叹图形的美妙与神奇，进而激起无穷的探究欲望。动态化教学促使学生主动提取各种动态的图形表象，进行数学思考与推理，从而习得知识，涵育素养。

3.多元多态的丰富性特质。

动态化教学利用几何变换构建出多态的图形，让学生能探究不同图形的几何属性，并在头脑中创生丰富的图形表象，累积想象经验。其中，还蕴藏着丰富的数学思考与推理，让学生实现了从直观水平向抽象认识的跨越。

二、“图形与几何”领域动态化教学的价值解读

（一）从静止到运动，几何学习的“温度”

动态化教学因运动变化的图形而彰显出独特的魅力，能够让学生体会到几何知识“冰冷”的外表下“有温度”的血脈。学生因图形运动变化的神奇、好玩而乐学，因几何探究中的奇趣、历险而神往，因品尝到成功的喜悦而备感幸福。

（二）从模糊到清晰，几何理解的“托盘”

动态化教学为学生提供感性、直觉、丰富的图形素材，使知识的生长更具有直观性，结论的形成更具有自然性，内容的呈现更具有生动活泼的样态，从而有效促进学生对几何知识及方法的理解。

（三）从孤立到联系，认知结构的“支点”

动态化教学可以让相互关联的事物处于连续运动变化之中，在动态展示图形的过程中，图形之间的联系就更清楚了。此外，动态化教学引导学生由分散学习转到整体认知，有效地整合知识，更好地沟通脉络，让认知结构得到优化和整合。

（四）从肤浅到深刻，空间观念的“撬棒”

皮亚杰的研究表明：静态表象只能产生物理经验，动态表象才是数理—逻辑经验生成的源泉。在动态化教学中，学生通过动态想象能够把抽象的图形知识转化成具体的动态表象，这种动态表象能够促进学生空间观念的深刻发展。

三、“图形与几何”领域动态化教学的策略寻绎

（一）提炼“图形与几何”领域教学的动态手法

实施动态化教学时，需要用到一些动态手法。常用的动态手法有动态操作、动态想象与动态演示三种，具体阐释见表1。

演示通过计算机，运用延长、平移、旋转、缩放、分割和反射等几何变换手段，呈现图形变化过程沟通图形联系，促进对图形本质特征的理解，完善认知结构，发展空间观念以上三种手法都极具价值。教学中，把它们联合起来使用，会事半功倍。从培养学生空间观念和想象能力的角度来说，动态想象比动态操作更为重要。在“图形与几何”领域的教学中，教师可以按照“动态想象—动态操作—动态演示”的流程来展开。当然，流程并非一成不变，对于低年级的学生来说，根据他们的年龄特点与思维水平，可以先进行动态操作，再结合操作产生的素材，动态回想操作的过程。

（二）捕捉“图形与几何”领域教学的动态元素

1.基于教材内容的原生性动态元素。

所谓原生性动态元素，是指教材内容本身所具有的或隐含的动态元素。对此，教师只要肯挖掘，就可以直接进行动态化教学。我们对苏教版小学数学教材中“图形与几何”领域的原生性动态元素进行了系统梳理，依据图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形的位置四大内容范畴，形成了12张统计表。例如，六年级下册“圆柱与圆锥”单元的一些原生性动态素材见下页表2。

2.达成教学目标的融入性动态元素。

所谓融入性动态元素，是指教材本身没有安排动态元素，需要教师根据教学目标，针对教学内容，适当地融入一些动态元素，以营造引人入胜的动态体验。设置融入性动态元素是为了更好地达成教学目标，辅助学生认知图形、独立探究、总结规律，因此要特别注意按照教学目标进行动态化处理。

例如，苏教版小学数学二年级上册《认识线段》一课，基于“拉直线”的活动，帮助学生借助直观经验建立起线段的表象，再通过对“直尺与课本的每条边都可以看成线段”的直观辨识和初步抽象等活动，让学生初步认识线段的本质属性：“直直的”“有两个端点”“有长短”等。但是，这些都属于线段静态特征的构造描述，没有体现出“一个点在空间中沿着指定的方向做有限的平移”这一线段的动态特征，不利于学生后续的学习与发展。对此，教师可以在学生初步认识线段的基础上，适当地融入动态元素，借助“用碗接水龙头处下落的水滴”这一生活原型，动态呈现水龙头上的水慢慢往下滴入碗中的现象，要求学生从中寻找线段。学生在直观观察、动态想象的过程中，充分感受到这种动态的滴水过程也能形成一条线段，其中水龙头是线段的头，碗是线段的尾。这样的动态化处理，既促使学生对线段的认识从静态可视拓展到动态想象，丰富了线段概念的内涵，又帮助学生积累起“点动成线”的经验，为第二学段以动态视角认识线段做好了必要的准备。表2

内容范畴页码题目教学内容说明图形的

认识P9例1、P13第3题圆柱的

认识可以呈现圆柱的动态形成过程：一是动手制作得到;二是将一个圆向上平移得到;三是将一个长方形绕轴旋转得到;四是用长方形纸卷成P10例1、P13第3题圆锥的

认识可以呈现圆锥的动态形成过程：一是动手制作得到;二是用扇形纸卷成图形的

测量P11例2、P12例3、P14第7题圆柱的侧面积与表面积通过将圆柱侧面动态展开，沟通圆柱侧面与长方形的联系;在动态围通风管的过程中，理解通风管是圆柱的侧面;在将圆柱表面动态展开的过程中，深入理解表面积的组成P14思考题表面积

的变化通过动手操作、动态想象以及动态演示将一根圆柱形木料切成3段、4段、5段……的过程，在图形分割的运动变化中寻找不变的规律P15例4、P18第7题圆柱的

体积通过动手操作、动态想象及动态演示将圆柱底面平均分成16份、32份、64份……再切拼的过程，进一步体会圆柱与拼成长方体各部分之间的联系;通过将长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周形成圆柱的动态变化过程，体会二维与三维的转化，沟通圆柱与原来长方形各部分之间的联系，顺利求出圆柱的体积P19“动手做”测量不规则

物体体积借助动手操作、媒体演示，在水位动态上升的变化过程中，体会“等积变形”的数学思想P20例5、P22第6题、P23第9题圆锥的

体积在动手操作中体验圆柱形容器中沙子的变化过程，感悟圆柱体积与等底、等高的圆锥体积之间的关系;通过空间想象以及媒体演示，将圆柱转化成等高、等积或者等底、等积的圆锥，发现圆锥与圆柱等积时的规律;通过将直角三角形分别以长直角边与短直角边为轴旋转一周形成圆锥的动态变化过程，沟通圆锥与原来直角三角形各部分之间的联系，顺利求出圆锥的体积，感知不同的旋转方式下体积的大小变化3.凸显核心素养的拓展性动态元素。

所谓拓展性动态元素，是指教师为了更好地提升学生的空间观念，在教材的基础上，基于学生的学习能力，自主开发动态元素。

例如，教学完《圆的认识》一课后，为了让学生深入地理解“一中同长”的含义，教师可以开发一节拓展活动课《滚动的圆》：首先，让学生动态想象圆分别沿三角形、四边形外围滚动一周后圆心的轨迹，再用课件动态演示，以验证猜想，得出结论;然后，让学生运用“一中同长”来解释曲边是怎么形成的（见图1）。在此基础上，用同样的步骤猜想、验证圆分别沿五边形、六边形外围滚动一周圆心后的轨迹。学生在整个教学过程中，既真正理解了“一中同长”的深刻内涵，发展了空间观念，又感受到图形的美妙与神奇。

图1

（三）开展“图形与几何”领域教学的动态实践

1.动态形成让本质属性“显”起来。

小学数学中许多图形的产生都离不开运动变化。在教学中，教师可通过动态展示图形的形成过程，丰富学生对图形认识的动态体验，促进概念意义的主动建构，从而让学生清晰地理解数学知识的本质属性。

例如，小学数学中所有的柱体都可以通过平移来形成。因此，教学长方体、正方体、圆柱（体）等概念时，可以运用平移的方法，让学生动态地感知柱体是一个平面图形按一定的方向平移以后形成的立体图形，这样更有利于學生感知柱体的特性：上下两个面相等，垂直于高的截面处处相等。

2.动态研究让内在规律“明”起来。

“图形与几何”领域中，有许多内在的规律。在教学中，教师可通过引导学生开展积极的动态研究，学会从动中找静，在变中求定，在“动与静”“变与定”的研究过程中，感悟几何对象和现象背后的数学规律和思想内涵。

例如，教学苏教版小学数学五年级下册“整理与复习”单元“图形王国”部分的第22题（见图2）时，一位教师围绕题中的“思想点”进行“再加工”，运用动态化教学的方法设计了五个递进的变化层次，引发学生深入的数学思考。变化一：在一个边长为4厘米的正方形里面画一个最大的圆（见下页图3），圆的面积是正方形面积的百分之几？变化二：将正方形的边长改为6厘米、8厘米、10厘米、15厘米、a厘米，则圆的面积是正方形面积的百分之几？提炼规律：不管正方形的边长是多少厘米，圆的面积始终是正方形面积的78.5%。变化三：在边长为4厘米的空白正方形中设计出与图4阴影部分面积相等的图案。学生通过图形变换，创造出许多精彩的图案。变化四：比较该习题中三个图形阴影部分的面积。让学生感悟同比扩大的数学思想。变化五：怎么进行同比缩小？让学生先动态想象，再动手操作。教师课件演示（见下页图4）。这五次变化引发了学生的数学思考：为什么图形一直在变，但是阴影部分的面积始终占原来正方形面积的78.5%？经历了这样的过程，学生可学会在运动变化中思考相关的“静态规律”，体悟数学“变与不变”的思想。

3.动态梳理让认知结构“建”起来。

数学知识是一个有机的整体，是一个系统、有意义的结构。“图形与几何”领域的每一个概念都有着各自独特的属性，而概念之间也有非常密切的联系。在教学中，教师要用联系的观点，从学生学习的角度出发，动态剖析学生的认知结构，帮助学生动态梳理概念之间的关系，拓展、丰富知识网络，掌握概念的本质特征。

例如，教学小学数学苏教版六年级下册《平面图形的面积》复习课时，为了引导学生从面积计算方法的角度发现平面图形之间的联系，笔者先利用几何画板出示两条平行线内的一个梯形ABCD，并进行动态演示：将顶点B沿着两条平行线中上面一条直线向左平移，直至与A重合（梯形ABCD变成三角形ACD的过程，见图5）。学生发现：梯形的上底慢慢变小，下底慢慢变长，面积不变。进而，在观察图形的变与不变中，发现内在的关联：可以用梯形的面积公式来计算三角形的面积。接着，笔者让学生开展动态想象：按照这样的思路，如果顶点B换个方向，向右边平移，想象一下，会变成什么图形？按照刚才的思路想象一下，梯形能变成长方形、正方形吗？能变成圆吗？然后，笔者通过课件动态演示梯形转化成其他平面图形的过程（见图6）。学生惊讶不已，体会到梯形的面积公式可用来计算所有平面图形的面积。通过这样的动态梳理，学生在图形的变化过程中，感悟到梯形面积公式是计算平面图形面积的通用公式，体会到数学的简洁美。由此，平面图形面积的认知结构更加完善。

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参考文献：

[1] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 朱乐平.谈小学空间与图形教学内容的动态处理[J].江苏教育研究，2009（32）.

[3] 陈敏，朱乐平.创设动态教学情境 发展学生空间观念[J].小学教学（数学版），2010（3）.

[4] 林崇德.发展心理学[M].北京：人民教育出版社，2009.