从“独立”到“统一”，让学生学会思考

贲友林

摘要：在数学学习的过程中，学生是有自己的想法的。如何让学生的思考更为清晰、深入、灵活，需要教师的引导：从独立思考起步，“关联”他人的思考，“看见”自己的思考，走向“一”与“多”的统一。

关键词：思考小学数学找规律

学习与思考，不是彼此独立的，而是紧密联系在一起的。学生应该在思考中学习，并学习如何思考，两个过程相辅相成。在数学学习的过程中，学生是有自己的想法的。如何让学生的思考更为清晰、深入、灵活，需要教师的引导。

一、从独立思考起步

坦率地说，在当下的课堂中，我们过多地重视了学生的合作学习，而对学生学习过程中的独立思考有所忽略。合作学习的前提是独立思考。独立思考是独立学习的内核。只有建立在独立学习基础上的课堂教学，才可能走在发展的前面，并推动发展，从而不断地创造“最近发展区”，并将其转化为新的“现有发展区”。

数学学习，应该建立在学生独立思考的基础上。不过，在课堂中，学生的独立思考，独立了吗？思考了吗？在数学课堂中，教师给学生多少独立思考的时间与空间了吗？如，教师提问之后，往往期待学生能立即举手作答，不仅期待学生举手，更期待课堂中小手如林，因为这样才显示出课堂中学生参与的积极性高。教师是否想过，学生面对问题能立即举手作答，恰恰可能说明问题对学生的挑战性不够？面对问题，学生是需要思考的;而思考，是需要一定的时间的。学习，应当在学生的“最近发展区”内，即让学生“跳一跳，摘果子”。教师应该反思：自己所提的问题是否对学生有适度的挑战性？课堂中是否留给了学生独立思考的时间？

研究显示，教师在学生回答问题前的平均等待时间只有1秒钟。教师提问后，应该学会在学生回答之前停顿3～5秒的时间。这样，学生才能进行更多的思考，才会有更多学生主动参与提问的过程，并自愿进行恰当的回答。而面对数学问题，3～5秒的等待时间往往还是不够的。数学问题，不能仅仅是“快思”，还需要“慢想”。著名数学家陈省身指出：“数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，才会有很好的效果。但是，思考数学问题需要很长的时间，我不知道中小学数学课堂是否能够提供很多的思考时间。”

由于课堂时间的局限，我们将思考时间“拉长”，整体考虑课内学习与课外学习之间的关系，将课中的思考环节前置，即尝试让学生在课前对课中所学内容进行思考。也就是说，以往是在课中提出问题，让学生思考，再进行交流;现在调整成在课前把学生带入学习任务中，让学生对即将学习的内容展开自己的思考，记录下自己的想法。而这实际上又给后续课堂中的交流与互动留有更为充裕的时间。

在《找规律》这节课前，我组织学生独立思考，完成如下研究学习材料：

1. 如图1，像这样摆10个三角形，需要多少根小棒？

我的发现：

我还能提出什么问题？

2. 编一道类似的题目。

我编的题目：

我的解答：

围绕材料中的问题，学生展开自主学习与思考，继而带着自己的想法与问题走进课堂。学生独立思考后完成的这些材料，是学生进一步学习的“支架”，展现了学生不同的学习起点。每位学生正是从各自不同的起点出发前行的。

二、“关联”他人的思考

课内学习和课外学习的一个不同之处是：课外往往是一个人学习，是个体状态下相对独立的学习;而课内是一群人在一起学习，是发生在群体中“他人在场”的学习。当一个班级的学生在一起的时候，每位学生都带来了各自的想法，教师要做的是，组织学生敞亮、展示、交流各自的想法。

在《找规律》这节课中，我先通过抽签的方式邀请一位学生与全班交流。抽签，目的是让每位学生意识到：他们每个人都有想法，都可以、也应该与全班交流。这也让每位学生都知道，人人都需要对数学问题进行思考。

一位学生展示了算法：10-1=9，9×2=18，18+3=21，但他解释不清楚为什么这样列式计算。后来，他邀请了班级中其他几位同学帮他解释，并在教师与同学的共同帮助下，借助画图（如图2），基本解释清楚了这几步算式究竟算的是什么。

然后，一位學生展示并交流了第二种解法：“我的解法是2×10+1。我假设，有一根小棒不看，有10个三角形，每个三角形都有2根小棒，最后把那一根加上去。”我指出：“如果你一边在图中圈圈画画，一边讲，就更棒了。”学生拿起粉笔，圈画（如图3）、讲解，有模有样。

接着，一位学生展示并交流了第三种解法：11×2-1。该生仿照刚才的“小老师”，在台上侃侃而谈。我提醒：“你不要一个人全部说完。”该生心领神会，请班级中的其他同学参与互动。一位学生先是画图（如图4），然后讲解：“我在第一个三角形的最上面加一根小棒，这样就有11个‘三角形’了，每个都是2根小棒，最后再把那根减掉。”

又一位学生接着发言：“我发现这两种解法都是假设多一根、少一根。”我指出：“是呀，既然可以增加一根，那么也可以减少一根。听这样的发言，太享受了！”

在学生交流时，教师要关注学生是否听明白了其他同学的想法。课堂中，一位学生交流想法之后，后续发言的学生对之前学生的发言要做出回应，或肯定，或否定，或质疑，或补充，或小结。这样的回应，其实也是学生思维外化的工具。即，不仅关注自己的想法是什么，如何将自己的想法表达出来，还关注他人的想法是什么，自己的想法与他人的想法之间有什么关系。也就是说，在展示交流的过程中，教师指导学生在倾听的过程中，对各自不同的想法进行比较：不同在哪儿？是否有相同之处？怎样的想法更为正确、合理？之后的回应，即为自己关联想法后的表达。

日常的课堂教学中，学生能发现自己的想法与其他同学的想法的不同，但他们一般把自己的想法表达出来，就“万事大吉”了。因此，教师要指导学生，将不同的想法关联起来，先对他人的想法做出回应，再陈述自己的想法。

课堂中，一种想法呈现之后，不是由教师做出类似“大家的想法和他一样吗？”的言语提示与引导，牵引着学生来查看自己的想法是否与之不同，然后举手作答，而是让学生在倾听他人阐述的过程中实时与自己的想法进行关联对照，然后及时进行补充发言。这样互动的意识与方法，应当逐步成为学生学习过程中的自动化反应。

学生将不同的想法关联起来，才可能走出自己想法中可能存在的狭隘与偏见，让自己的想法变得开阔、辽远。在这一过程中，引发自己的想法，发生新的改变，才能让学习真正发生。

三、 “看见”自己的思考

有学者通过对专家与新手的学习过程、学习方式的对比研究发现，专家的一个学习特点是能够监控、调整自己的理解过程，从而不断学习适应性知识。即，专家的学习具有自我调节的特征。自我调节，指学习者系统地引导自己的情感、思维和行为，使它们指向目标实现的一种过程。诸如“元认知”“自我观察”“自我判断”“自我监控”“自我评价”等，都是包含在自我调节中的认知行为。

作为学生，与以往比较多地关注“教师教什么”形成对比的是，现在要关注：自己学什么？怎么学的？学得如何？在学习过程中，有哪些想法？想法发生了哪些变化？有哪些收获？有哪些困惑？即，学生能“看见”自己的想法，并且自我调节。也就是说，自我调节的学生有元认知意识，能够监控自己的认识、理解和行为，评价自己的目标进展和能力发展。自我调节的意义在于真正做学习的主人，将学习作为自己的事情，积极地投身于学习中，自主地完善认知结构的建构。

如何让学生“看见”自己的想法？在课堂中，教师要唤醒学生的主体意识，恢复学生的主人身份，让学生从被动接受转向主动参与，而不能以自己的思维替代甚至覆盖学生的想法。

《找规律》这节课，教师的教学安排，可以一开始就直接引导学生先从简单想起，然后列表找规律。不过，学生会很“郁闷”：我都知道答案了，会列算式了，还有必要这样绕弯子，用这样麻烦的方法吗？更有一种可能：学生不去思考自己的想法，而简单地接受老师的想法。这样，慢慢地，学生也就失去自己思考的意愿与能力了;即便思考，也无视自己的想法了。

我在教学《找规律》这节课时，体现了“教的路子根据学的路子”的理念，先让学生把各自的想法呈现出来，借助学生不同的想法启发其他学生打开思维。在交流过程中，让学生实时知晓自己的想法，明晓他人的想法，监控自己的认识：我是这样想的，别人是怎样想的，我的想法发生了怎样的变化，我是否有新的想法。

要说明的是，在学生交流多种想法之后，我介入，提出问题：“有同学出错了，有同学不会做，我们一起想个办法，让所有同学都会做。”学生想到“画一画、数一数”这种看起来有些“笨”的方法，并意识到数据较大时显得麻烦。之后，自然引导到化繁为简，从简单情况想起。由此，学生对原先“不屑一顾”甚至“不值一提”的思考方法有了新的认识，并且在经历观察、思考、发现的过程中，把此时的想法和之前的想法建立关联。

回看这节课的一个片段：

在几位学生交流2×9+3、2×10+1、11×2-1三种想法之后，一位学生发言：“刚才他们两个同学都是假设两根小棒为一组的，那我也可以假设3根小棒为一组。”我让这位学生把研究学习材料展示给全班同学看。这位学生说：“我没写算式，刚刚才想到的。”接着，他在黑板上画图，在相邻的三角形之间补充了一些小棒（如图5）。

我指着学生刚刚画出的图说：“这样10个三角形都是——”学生抢答：“独立的。”我组织学生写出算式：3×10-9。然后追问：“怎么减9的？”学生边圈画边讲解。之后，我继续追问：“你是怎么想到这种方法的？”学生回答：“我是看了前面两个同学的方法想到的。”

课堂中的学习与思考，不仅仅“向外”，即表现为与同学、老师分享自己的想法;还要“向内”，即在“说”与“听”的过程中，促使自己生成新的想法，促使自己对学习内容的认识经历从“原来我是怎样想、怎样做的”到“还可以这样想、这样做”，再到“现在我是这样想、这样做的”的过程。这样的过程，思维从平衡到失衡，再形成新的平衡，从而深度建构对新学内容的理解。

四、走向“一”与“多”的统一

在数学学习过程中，学生想法比较单一时，教師要引导学生发散思考。不过，当学生的思考从“一”走向“多”之后，教师又要进一步引导学生集中思考，从“多”走向“一”。发散思维与集中思维，促使学生的思考在广度、深度两方面和谐共进。

在《找规律》一课的研究学习材料中，我让学生提出问题。学生一般提出的问题是：摆20个这样的三角形需要多少根小棒？摆50个这样的三角形需要多少根小棒？摆100个这样的三角形需要多少根小棒？教学时，可以选择其中一个问题组织学生应用发现的规律解决问题。也有学生会提出类似“100根小棒可以摆成多少个这样的三角形？”的问题。教学中，可以邀请学生把这样的问题展示出来，并引导学生分析：这样的问题，与之前其他同学展示的问题有什么不同？通过对问题的分析，让学生体会到，提出问题，可以从不同的角度思考。

研究学习材料的第2题，让学生编一道类似的题目。学生由第1题中的三角形想到，还可以像这样摆正方形、长方形等。通过课堂中的交流，学生进一步发现，还可以摆平行四边形、梯形等;甚至有学生从摆像这样的一层想到，可以摆像杨辉三角形一样的多层。学生一开始并没有想得如此丰富多样。而课堂中的展示、交流、分析，可以打开学生的思路，从而举一反三，多方向思考。

当然，《找规律》这节课，不是一个课时就能完成学习的。根据学生的学习水平和学习表现，在后续的教学中，教师可组织学生进一步思考下面两个问题：

1.像这样摆三角形，不同的算法，又有着怎样的联系？能否用一个式子表示出小棒根数与三角形个数之间的规律？

2.像这样接着摆三角形、正方形、长方形等，小棒根数与图形个数之间的规律又有什么共同的地方？

如此，学生能徜徉在思考中，体会到数学思考的趣味、神奇与美妙。