数形结合在初中数学中的运用

何军

【摘    要】中学数学教学活动的展开通常都是围绕“数”和“形”这两个基本内容，其中“数”属于代数范畴，而“形”属于几何范畴。在课堂教学中，教师通过将“数”与“形”相结合的方式来进行教学，有助于给学生更加形象地展示代数和几何中的一些复杂概念。

【关键词】数形结合  几何图形  代数问题  函数

中图分类号：G4      文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2019.06.141

初中数学不同于小学数学，其内容更多地围绕最基本的函数和平面几何展开。在此阶段，学生虽然形成了初步的逻辑思维能力和抽象的理解能力，但这些能力还尚未成熟。这种思维特征要求教师在传授中学基础数学理论的过程中要层层递进，循序渐进地展开教学活动。而“数形结合”这一思想恰恰是教师将深奥概念简单化地传授给学生的重要方法，也是学生独立完成课题练习的重要学习方法。

一、数形结合应用的分类

（一）用几何知识帮助解决代数问题

用几何知识帮助解决代数问题的方式通常运用于理解抽象概念、记忆复杂公式或者解决函数以及方程与不等式问题。作为一名初中数学教师，在初中数学教学过程中，我们要巧妙地运用几何知识来为学生讲解代数知识。

1.利用几何知识理解复杂概念和公式。

初中的代数内容仍旧属于比较基础的范围，其研究对象一般是基础的数的分类以及其代数运算，如：“+”、“-”、“×”、“÷”、乘方、开方……然而，虽然这部分内容研究的范围比较基础，但其计算强度却在逐渐增大，概念的范畴也更加抽象繁琐。许多基本的数学概念看似与几何没有任何关联，但只有借助几何图形来进行表达才能使学生理解得更加轻松。利用“数形结合”的思想来学习初中的代数，其实质就是一个从难到易，由抽象到形象的过程。在初中数学中，教师通常利用数轴进行数的大小以及数量关系的教学，比如：利用数轴判断-2，0，3，5之间的大小关系;利用数轴判断互为相反数的几组数有什么共同的特點;利用数轴使学生明白绝对值“|X|”的几何含义等等，此外，在初中数学关于平方差公式的教学、勾股定理公式的记忆与运用常常也需要教师通过对图形进行分割求面积的方法来帮助学生进行理解和记忆。

2.解决函数、方程以及不等式问题对于几何知识的应用。

在初中数学教学中，“数形结合”的运用主要集中于函数、一元二次方程以及与之相关的不等式中。初中数学所涉及的一次函数、二次函数和反比例函数以及作为函数“基石”的平面直角坐标系是“数形结合”思想在初中数学教学中最优良的代表。平面直角坐标系将函数的变量“X”与函数值“Y”之间的动态关系更加直观地描绘出来，是“数形结合”化繁为简的核心作用的具体反映。在函数的教学过程中，学生一次函数的斜率、二次函数的最值和零点的理解都需要教师通过作图的方式形象地向学生进行讲解。而在学习一元二次方程以及不等式的过程中，方程的根以及不等式成立时对应的X的范围都需要结合二次函数的图像来进行分析。这也为学生以后高中进一步学习函数根与系数的关系以及更深层次的函数和方程打下思想基础。

在函数与方程的结合性问题的探讨过程中，我们一般是将函数的零点个数问题转化为是方程的实根数问题，而在一元二次方程Ax2+Bx+C=0的根的求解过程中，我们通常是将其转变为求证二次函数y=Ax2+Bx+C与x轴交点个数的问题。

（二）利用代数知识解决几何问题

初中数学课程的教学安排已经逐渐在向学生普及几何问题代数化这一重要数学思想。在初中数学教学中，平面直角坐标系的引入便是最典型的“数形结合”的基础方式。初中数学关于利用代数知识解决几何问题的方法通常用于求解两点之间线段的长度、求解两个或多个函数相交的图像中一次函数的斜率或者反比例函数中的比例系数，比如：

这个题即是典型的利用代数来解决几何问题的题型。利用两个公共点来构造一元二次方程，再利用根与系数的关系间接求出比例系数。

（三）数形融合型结题

关于“数”与“形”相互融合，辅助结题的思想在初中数学仅仅体现在圆的方程和几何概型两方面，也只是做到了初步运用。“数形融合”型的思想更多的是体现在高中数学中圆锥曲线的部分，在这里也就不多加赘述。

二、“数形结合”教学法的优势

随着“新课改”的推行，初中数学新课程的设置体现了教育者们对于教师和学生对数学思想的认识的强烈重视。与以往版本初中数学教材的内容安排相比，新教材的编纂更加渗透着对于数学思想方法的关注。对于初中阶段的学生而言，将“数形结合”思想运用于课堂教学是适应他们心理特征的教学手段之一。对学生而言，在课堂教学中进行图形的演示能够凝聚学生的注意力，增加学生对于深奥知识学习的兴趣。运用图形进行讲解和分析能使看似复杂的概念变得简单易懂，学生能轻松发现复杂问题下的简单规律，在学习的过程中也能使学生在无形中增添对于自己数学问题有效分析能力的信心。再者，教师在使用图形对知识进行挖掘的过程中，常常涉及到许多非专业或专业的背景知识，这些背景知识的普及不仅能够活跃课堂的学习氛围，也能开阔学生的视野，进而达到提高学生数学表达能力的目的。

对初中数学教师而言，随着多媒体技术和计算机教学的普及和不断优化，运用几何图形对新知识进行剖析和演示实验也越来越便利。将“数形结合”思想运用于初中数学教学设计中，在一定程度上减轻了传统讲解法带给课堂的枯燥感，使教师在节约课堂时间的同时也提高了教学质量，留给学生更多的时间去进行自主学习和练习。不仅如此，教师在设计与“数形结合”相关的课题教案时，需要对教学课件进行精心制作，这不仅锻炼了教师的教学设计能力，也使教师更加熟练的操作相关计算机演示软件，并及时更新相关的计算机教学技术相关专业知识，从教育技术的角度来看，有助于教师专业知识的“升华”。

三、结束语

总而言之，“数形结合”思想的运用解决了初中数学课程中对于学生来说过于抽象的数学知识，达到了“化繁为简”的作用，体现了抽象概念与具体概念的高度结合，是初中数学教学最主要的数学思想方法之一，也为学生学习高中更加抽象的数学知识打下了基础。在“新课改”的指导下，教师需要结合教材内容与学生对知识的实际接受能力，合理选择方案进行教学，要有意识地结合抽象概念与具体图形展开教学活动，以提高学生解决抽象问题的能力。