优化整合习题提高课堂效率

杨昌平

摘 要：教师对课本习题进行优化整合，可以促进学生的能力发展，提高课堂教学效率。文章通过具体的例题，介绍了整合的方法有：引申式整合，链接式整合，类比式整合，联想式整合。

关键词：课堂教学 优化整合 引申 链接 类比 联想

课堂教学好像是一个许多环节组成的链条，其中一个重要的环节就是课堂练习。有的学生做的题目量大，但知识点单一，能力得不到提高。这就需要教师在选择习题时，对习题进行整合，形成题组，就像“组合拳”出击，让学生体验到其强大的威力。那么，怎样整合呢？

（一）引申式整合

所谓引申，是指由原义产生新义。讲解例题时，在分析例题所要考察的知识点、基本方法、基本思想的基礎上，在学生的最近发展区，对例题作适当的引申，整合成题组。

【例题】如图2所示，在半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？最大面积是多少？

【分析】这是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教课书《数学》必修4课本107页的一道例题。主要考察学生用角作为变量，用三角函数表示面积，用倍角公式求最值。体现数形结合，等价转化的思想。

【变式1】如图1所示，在半径为R的圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？最大面积是多少？

【变式2】如图3所示，在半径为R（定值），圆心角为600（定值）的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值。

【变式3】如图4所示，在半径为R（定值），圆心角为600（定值）的扇形AB弧上任取两点P、N，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M在OB上，求这个矩形面积的最大值。

【变式4】已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别按图3、图4作扇形的内接矩形。若按图3作出的矩形面积的最大值为R2tanα/2，则按图4作出的矩形面积的最大值为____。

【整合理由】解决这五道题的通用方法是：把圆上的动点和圆心连接起来，设圆周角为变量，用三角函数表示出矩形的边长，再列出面积的表达式，利用三角函数的有界性求出最值。

（二）链接式整合

所谓链接原指在电子计算机程序的各模块之间传递参数和控制命令，并把它们组成一个可执行的整体的过程。本文指把条件相近，知识点相同，解答方法相似的题型组成一个题组。

【例题】如图5，已知圆F1内含在圆F2内，且点F1，F2不重合，试判断：与圆F1外切，且与圆F2内切的动圆圆心C的轨迹是什么曲线？

【分析】这是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教课书《数学》选修1-1课本27页的一道习题。主要考察学生圆与圆的位置关系，椭圆的定义;

【变式1】如图6，已知两圆：圆F1与圆F2的半径分别为r1、r2（r1

【变式2】已知两圆：圆F1与圆F2的半径分别为r1、r2（r1

【变式3】已知圆F的半径为r，直线l与圆F相离，动圆C与直线l和圆F都外切，试判断动圆圆心C的轨迹是什么曲线？

【整合理由】这三道题的共同点：依据三个圆之间的相切关系，用半径表示出圆心距，再进行加减运算，根据圆锥曲线的定义，得出结论。

总之，没有系统的练习，只能浪费学生的时间，学生的综合解题能力得不到提高。高考时，学生的这一薄弱点就暴露出来。

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说最后的胜利就属于你;相反，有时因为被局部纠缠反而看不清问题的实质所在。教师要见微知著，树立全局的观念，讲究排兵布阵，优化整合课本习题，让学生得到系统的训练，学生掌握了一类问题的通法，这样，教师教的轻松，学生学得愉快，大家都从题海中解脱出来，何乐而不为呢？