拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用

颜挺进

摘 要：随着我国教育行业的不断进步与發展，当前高中学生的数学解题思维养成也越来越重要，尤其是在函数和不等式的解题过程中。在平时的学习过程中若是学生可以很好的掌握拉格朗日中值定理，并运用此定理进行解题，可以显著的提高学生实际的解题能力。本文对拉格朗日中值定理的相关内容进行了简单的介绍，并结合相应的不等式问题对其进行系统的分析，将在实际解决相应不等式问题时所应用该定理的具体步骤进行了简单的分析与探讨，从而有效的提高学生实际解决问题正确率以及提高学生学习的效率。

关键词：拉格朗日中值定理;数学问题;不等式;应用;分析

引言：在实际进行高中数学课程的学习过程中，不等式问题占有十分重要的地位，并且在考试中占有大量的分值。但是一般情况下在学生实际解决这类不等式问题时难度较高，给学生的数学科目学习带来了很大的困难，这也使得学生实际的解题能力始终难以解决，并且对整体的解题效率产生了很大的影响，很多学生由于难以攻克不等式数学问题的难关而使得整体的数学成绩一直难以提高。

一、拉格朗日中值定理的具体含义以及其实际的表达形式

一般拉格朗日中值定理又可以将其称为拉式定理，在微积分数学理论当中占有十分重要的地位，利用此定理可以将相应的导函数在闭区间中和本区间当中某一个特殊点具体的局部变化率，及其内部所具有的联系进行详细的介绍，让使用者可以更加明确的了解到各个导函数实际的意义。此定理在发展是在罗齐尔中值定理的基础上衍生而出的，也可以将其当做柯西中值定理当中的一个特殊形式。

拉格朗日中值定理的具体表达形式如下：

通常在使用拉格朗日中值定理时可以利用以下几个具体的数学语言对其进行表达，首先需要设存在一个函数f（x），并且此函数需要满足以下几个要求，第一点要求就是必须要确保此函数在[a，b]这个闭区间内为一个连续导数，第二点需要保证此函数在（a，b）这个开区间上是一个可导的函数。结合这两点可以判断出开区间（a，b）上最少会存在一个点Σ比a大比b小，让此函数可以满足f（a）-f（b）=f′（Σ）（a-b）是一个正确并且成立的方程。而还有一个形式为需要先设一个未知量x，设这个未知量为[a，b]这个闭区间当中存在的一点，利用x+∆x代表此区间当中的另外一个点，并且需要确保∆x大于零或者是∆x小于零，这样此定理在区间[x，x+∆x]上可以确保以下等式成立：f+（x+∆x）-f（x）=f′（x+n∆x）·∆x此式子还需要满足（0

二、拉格朗日中值定理在解不等式问题当中的具体应用

1、通过公式直接求解不等式

拉格朗日中值定理在现今的大学高数教学过程中也有着广泛的应用，其中一个主要应用就是通过定义公式，可以直接求解相应的不等式。拉格朗日中值定理在应用过程中不仅要注重合理的科学性，同时也要注重集体步骤思维相性。尤其是在解不等式问题过程中，通过公式可以直接将一些不必要的步骤直接忽略，然后将结果进行分析出来。它减少了在很多过程上的思考，使问题的解决变得更加简单方便。

2、构造相应的辅助函数求解不等式

拉格朗日中值定理不仅自身能够进行一些不等式的计算，它同样也可以与其他函数公式相结合去求解更加复杂的不等式。而该定理在进行与其他函数相结合的过程中会产生很多结合产物，比如说在拉格朗日中值定理基础之上，又会出现一个新的公式，而这种公式在今后计算过程中将会直接被用于计算问题当中，这个定理同样也会被直接形成一个固定的可直接使用的常用定理，然后让同学们进行学习。

三、拉格朗日的中值定理的证明思维

3.1中值法

拉格朗日的中值计算步骤主要可以分为以下几点：

1）将结论读为x，通过简单化使得等式的右侧为0

2）对等式的右侧进行求导的运算（运算过程省略）

3）再设置辅助函数，使用拉格朗日中值定理使得结论成立，在将要证明的结论中凑成一个F’（x），根据这些求导出F（x）值，再换成x，变形后观察

3.2常数值法

在构造等式函数时，如果等式的关于端点处的函数值具有着对称性，一般会使用常数K值法来构造一个辅助的函数关系式，作为K，也就是常数的分离出来的一部分，在进行恒等变形使得等式的一端a和f（a）构成一个代数关系式，b和f（b）构成一个代数关系式，把代数式中的端点值（a或者是b）设为x成为辅助函数。

总结近年来，随着我国对于很多数学定理的不断深度研究，很多都已经渐渐的成为当今学生在学习过程中所学的重要知识点，这些知识点在进行学习过程中，不仅能够帮助同学们解决更多的数学问题，更为重要的是能够帮同学们建立起一个完善的数学解决问题思维。很多定理公式，只要背下来就可以进行计算解决相应的问题，但同样也有很多人无法理解定理的含义和应该应用的范围，所以在使用过程中会遇到一些困难。定理的本身含义就是为了提高同学们自身的解决问题能力才进行使用与应用的，同时减少解题步骤的复杂程度。拉格朗日中值定理已经成为了当今大学生以及高中学生在学习过程中必须要接触的一个数学定理，不仅仅是因为近几年来数学题型的不断变化与难易程度的不断提高，更为重要的是必须要借助相应的定理来提高同学们的实际解题能力与建立一个完善的思维逻辑能力。希望通过本文的分析，能够让更多的人广泛关注到拉格朗日中值定理的具体应用，同样也希望该定理在应用过程中能够被更多人接受更多人学习，也希望通过本人的分析可以推进我国教育事业的快速发展。

参考文献

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