实施问题有效驱动 提高复习课有效性——以一道典型问题的教学为例谈逻辑推理素养的培养

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安徽省南陵县教研室 安徽省南陵县城东实验学校

复习课作为课堂教学的重要课型之一，对提高学生的学习能力起着不可替代的作用.复习课由于涉及的知识信息量大，对学生数学能力的培养是很好的契机，发挥着不可替代的重要作用.怎样在课堂教学中提高学生的数学核心素养呢？这是我们面临的一个现实问题，在省级课题的研究中，我们总结出一种行之有效的方法，即以问题为驱动，以知识的生长点为纽带，通过对问题进行适度变式，深化了知识，培养了学生的学习方法，对提升学生的数学核心素养起到很好的效果.

逻辑推理能力是初中数学的核心素养之一，《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称课标)指出“对现实空间及图形有较丰富的认识，具有初步的空间观念、几何直观和逻辑思维能力……逻辑推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.”所以数学逻辑推理能力的培养是数学教学的重要任务.在复习课上，我们坚持选择恰当的素材，对相关知识适度整合和实施有效的驱动，在发展基础知识的同时兼顾发展能力，在注重数学活动的同时培养学生的数学素养.下面是我们实践研究中的两节初中几何“三角形”复习课：

图1

原题如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC边上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F.求∠BFE的度数.

这是八年级学习时的一道典型的练习题，条件简单，结论一般，大多数学生耳熟能详.复习课上如果仅仅停留在对原题的讨论上，不能激发大部分学生学习兴趣，更谈不上培养学生的逻辑推理能力，所以我们以此题作为知识的生长点，着眼于其蕴含的丰富内容，通过对这些内容的挖掘，激发学生的求知欲，取得了很好的效果.

1 在原题的基础上增加条件，实现对全等三角形的复习

原题形式简单，通过添加相应的条件，使原题的知识内涵更丰富，有利于培养学生的逻辑思维能力.

图2

例1 如图2，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD交于点F．

(1)求证：△ACE≌△CBD；

(2)过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；

图3

图4

解(1)、(2)略；

(3)如图4，过A作AG⊥DF于G，因为△ACE≌△CBD，所以∠CAE=∠BCD.

因为∠ACB=∠CAB=60°，所以∠ACB-∠BCD=∠CAB-∠CAE.

即∠ACG=∠BAF.

又因为∠AGC=∠AFB,AC=AB,所以△ACG≌△BAF.

所以CG=AF=2FG，因此CF=FG.

全等三角形作为初中数学的核心知识，如何添加辅助线是证明两个三角形全等的关键环节，常见的辅助线添加的方法有截长补短、中线延长和旋转等，为了实施对全等三角形的复习，在完成例1后，再次添加条件，得到变式：

图5

变式一：如图5，在(3)的条件下，点H在BC上且∠BFH=30°，求证：AH⊥BH.

变式一依然是以原题为依托，但改变过去以旋转为已知，进行三角形全等的证明，据此研究线段的和、差、倍、分关系.变式的本质是旋转，即把△ACF绕点A逆时针旋转60°得到△BCM，这样对学生思维程度的要求更高，能更有效地激发学生思维的深度和广度，经过一段时间的思考、讨论、交流，学生获得下面的解法：

图6

如图6，在AF上取M使CF=FM，连MC，延长FH交MB于N，

因为∠AFC=120°，所以△CFM为等边三角形.

所以CM=CF，

∠BAC=∠FCM=60°.

所以∠BCA-∠BCD=∠FCM-∠BCD，即∠ACF=∠BCM.

又因为AB=AC，△ACF≌△BCM.所以∠BMC=120°.

又△CFM为等边三角形，所以∠CMA=∠BMF=60°.

因为∠AFB=90°，所以∠MFB=90°，∠NFB=30°.

因为∠HFB=30°，所以∠MFN=∠FMN=60°.

即△FMN为等边三角形，且FN=NB，所以NB=FN=FM=CF.

故△CFH≌△BHN，即CH=BH，所以AH⊥BC.

2 把问题的视角转到相似三角形，实现对相似三角形的复习

相似三角形作为初中数学的重要知识，在证明线段相等、角相等、线段的平行、垂直关系，在计算线段的比值、图形的周长、面积等方面有着广泛的应用.这些问题的解决，对培养学生的逻辑思维能力有着重要的作用.

图7

例2 如图7，△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC边上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F.

图8

证法1 (备课预设)如图8，延长FE至G，使FG=FB,连接GB、GC.

易知∠BFG=60° ,所以△BFG为等边三角形.

所以BF=BG，

∠FBG=∠FGB=60°.

易证△ABF≌△CBG.所以∠BFA=∠BGC=120°，∠FGC=60°.

证法2 (学生解法)易知△ABD≌△CAE.所以BD=AE,∠DAF=∠ABD.

①

②

例2把全等和相似巧妙地结合起来，提示学生在全等时不忘相似，在相似时不忘全等，一箭双雕!

为了强化相似在解题中作用，有效地对相似三角形的判定和性质进行复习，同时强化学生三角形相似的意识，在解完例2后，对原题的条件进行逆向思考，提出下面的变式：

图9

图10

简解如图10，作DK∥BC，交AE于K.易证△ABE≌△BCD.所以BE=CD，CE=AD.

因为BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，所以△MBE≌△MDK.

为了对接安徽中考题第14题，继续对原题条件进行改造，变成一道两解填空题，提升学生逻辑推理能力的深度与广度.

图11

例3 如图11，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC=2，点E在BC上，连接AE交BD于点F，且∠AFD=60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为点的三角形与△ABF相似时，则BM的长为______.

作为压轴填空题，此类问题一般有一定的难度，但这恰好可以训练学生思维的严谨性和分类讨论的意识，为什么要分类以及怎样分类是学生学习的难点.此题当点M在线段BC上时，大多数学生能够求出BM的值，当点M在线段BC的延长线上时，问题怎样转化是本题的难点所在，教学中也发现学生出现了多种解法，而且解法新颖.

图12

简解如图12，当点M在线段BC上，∠BMD=120°时，△ABF∽△BMD.

此时△CDM为等边三角形，所以CM=CD=2，故BM=BC-CM=6-2=4.

当点M在线段BC的延长线上，∠BDM=120°时，△ABF∽△BDM.

图13

解法1 (备课预设)如图13，设CM=x,因为∠DCB=60°,∠BDM=120°,

所以∠DBM+∠M=∠CDM+∠M=60°.所以∠DBM=∠CDM.

又因为∠DMC=∠BMD,所以△BMD∽△DMC.

所以x(x+6)=x2+2x+4.解得x=1.故BM=x+6=7.

这个预设是执教者精心设计的，一度认为此法具有挑战性而沾沾自喜，当教师把这个答案用PPT呈现给学生时，数学课代表怯怯地说：“老师，我直接证明△ABF∽△BDM也能求出BM的长”.课后我们和老师的交流中得知，直接求解教师在备课时也思考过，考虑到过程相对比较复杂，就没有深入下去，学生的这一提出，使他感到很诧异.在课堂上，老师把这位学生的解法投影到实物展台上，供同学交流：

图14

教师对数学课代表的解法，向学生谈了自己的想法：这种解法其实我在备课时也考虑到了，但估计运算量比较大，所以我就放弃了，现在数学课代表这种最直接(最直接的往往体现的是学生最原本的认知思维)的解法深深打动了我，请大家不吝啬你的掌声，给他鼓鼓掌！

话音未落，另一个同学举手，老师示意他讲下去，他说“老师，我的方法很简单，也求出了BM=7”，该生的发言使同学们觉得很兴奋，于是叫他把过程展示如下：

如图14，在线段BC上作∠BGD=120°,∠BDM=120°,所以∠DBG=∠CDM.故△BDG∽△DMC.

例3是一道三角形综合题，借助此题复习等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，体会用分类讨论的思想思考问题，体验添加辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题的过程．课标指出“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”此题以问题为驱动，充分调动学生学习的主动性和积极性，让学生深入思考，提高他们的逻辑思维能力，使学生的数学核心素养的培养落到实处.

在例3的基础上，顺势而为，将点D、E在AC、BC上拓展到在直线AC、BC上，并把图形相似转化为角相等，有下面的变式：

变式三在例3的条件下，点D在直线AC上，点E在直线BC上，且∠BAE=∠CBD，当BD=1时，则BE的长为___________.

为了使学生有更多的时间思考和解决此题，没有在课堂上讨论，作为作业让学生思考，第二天在课堂上点评. 变式三是例3的延伸与拓展，由于点D在直线AC上，点E在直线BC上，所以变式三有四种情况，情况更复杂，对思维的严密性要求更高，但能巩固学生对全等和相似的复习效果，强化分类讨论的思想方法.

3 在原题的基础上求线段(线段和)的最值，实现对几何最值的复习

最值问题是学生学习几何的难点，解决此类问题的基本定理有：两点之间线段最短和垂线段最短等，基本题型有将军饮马、定弦定角和运用阿波罗尼斯圆等，为了让学生掌握数学的思维方法，改变过去的所谓“题型”教学，教师对原题继续变式探究：

借助几何画板的动态演示发现，随着点D和点E的运动，点P也在运动，但点P始终在以AB为弦圆周角为120°的圆上运动，在运动过程中，CP存在最小值，于是提出下面的问题：

图15

此题在原题的条件下，将问题转化到求CP的最小值，由已知可得∠APB=120°,故点P始终在以AB为弦圆周角为120°的圆上运动，当点P经过圆心时CP最小.其模型是定弦定角求最值.

图16

解易知△ABD≌△BCE，有∠APE=60°，

从而∠APB=120°，所以∠AOB=120°.

当O、P、C三点共线时PC的值最小，最小值为4-2=2.

在求得CP的最小值后，最直接的想法就是△PAB周长的变化规律，通过几何画板的反复演示，猜想△PAB的周长有最大值，最大值在哪里取得，是多少，难以发现，于是启发学生能否运用代数方法去寻求其最大值.在师生的互动下，探究如下：

图17

在代数探究的前提下，提出：

变式四在例4的条件下，求△PAB的周长的最大值.

解在△ABC外作等边△ABK，连接PK，取PH=PB．

由已知易得∠APB=120°，因为∠AKB=60°，所以∠AKB+∠APB=180°.

所以A、K、B、P四点共圆.所以∠BPH=∠KAB=60°.

因为PH=PB，所以△PBH是等边三角形.

所以∠KBA=∠HBP，BH=BP.所以∠KBH=∠ABP.

因为BK=BA，所以△KBH≌△ABP.所以HK=AP.

所以PA+PB=KH+PH=PK，所以PK的值最大时，△APB的周长最大，

所以当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4.

△PAB的周长最大值的取得是建立在代数探究、几何证明的基础上的，具有相当大的难度，仍然在学生的“最近发展区”，属于“跳一跳”的问题，在解决完例4和变式四后我们还需要思考对于正方形是否还有类似的结论，对于其他正多边形是否也有类似结论，如何探究，请感兴趣的同学课后思考.

以上两个课时的复习课，以问题为驱动，在学生最近发展区对有关数学问题进行变式，激发学生深入思考，促进了学生思考的深度和广度，使课堂成为安静的“热闹”，培养了学生的逻辑思维能力，提高了学生的数学核心素养，有效地提高了复习课教学的有效性.