借助辅助圆 提升三角形问题解决效率

张 健

(江苏省海门市东洲国际学校 226100)

圆作为特殊的平面曲线图形，其特殊性质可以帮助学生们提高一些常规方法难以解决的问题，实现问题的降级化、简单化.借助构造的辅助圆，让看似与圆无关的较难问题、抽象问题转变成简单、形象的问题，实现问题的快速解决.本文就详细讲解在三角形中，如何通过构造的圆，来促进问题的解决.

一、构造圆，证明不等式问题

圆因其自身的特殊性质，不仅是初中数学中需要掌握的重要内容，也是帮助学生们解决某些数学问题的桥梁.有关三角形不等式的求解方法很多，但是当正面求解较为困难时，可以借助构造的圆来解决.妙用三角形的内接圆也可以降低原问题的难度.

例1已知三角形ABC中的∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，证明：AD+BC>AB+AC.

图1

证明令Rt△ABC的内切圆的半径是r，如图1 ，因为AB+AC=BC+2r，又2rAB+AC.

反思此题需要知道三角形内接圆与边之间的等量关系，r=(a+b-c)/2，即转化为本题中的AB+AC=BC+2r.几何不等式证明常规思路是截长补短，但需要借助构造的全等三角形或者比例线段来求解，技巧性很强，而借助辅助圆则避免了这一弊端，实现数形结合帮助理解.

二、辅助圆，简化角度求解

借助三角形的外接圆可以简化某些问题，同样，通过构造的圆也可以简化三角形角度求解问题.一般将三角形的公共定点当做是一个顶点，然后作出三角形的外接圆，搭建起等角和辅助圆中有关角度桥梁，实现问题的解决.

图2

例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，且 ∠ABC的角平分线与边AC相交于点D，且BD+AD=BC,求∠A的度数.

解析根据题意知，BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠DBC.因此以BD为圆的直径，作一个如图2的辅助圆，交BC于点E，连接DE，所以AD与DE的弧长相等(同圆中相等圆周角所对应的的弧长相等).又四边形ABED是圆的内接四边形，所以

反思三角形中常见的构圆类型十分多，可以构造内接圆、外接圆、或者部分圆，究竟以哪个图形为基础构造何种类型的圆，都需要借助题目条件和问题进行多次尝试，经过日常的积累和归纳总结，形成一定的解题敏感性和思维的发散性.通过构造的圆可以简化三角形角度的求解；有关圆的性质需要熟悉并灵活运用，如圆周角、圆心角、弧长等；圆内接四边形的性质也要准确把握.

三、借助圆，判断三角形类别

三角形种类繁多，如正三角形、直角三角形等，每种特殊三角形都有自己的特殊性质，如正三角形的三条边都相等、三个角都相等、中线垂直于对应的边等特殊性质.判断三角形的种类归根结底是依据特殊三角形的角或者边的关系进行判断.但是，当已知条件错综复杂时，难以直接利用已有信息判断时，可以借助圆来搭建桥梁，实现问题化简和解决.

图3

例3 如图3，点F是正方形ABCD中AB上的一点，∠ACF=30°,AF边上的中点G满足GH∥AD,交BD于点H求证：△HAF是正三角形.

解析连接HC，则△DHA与△CHD全等，所以AH=CH.又GH∥AD,所以GH⊥AF.又G是AF的中点，所以GH是AF的中垂线，因此AH=HF，所以HA=HF=HC.以H为圆心，HA为半径作圆H；则A,F,C在圆H上，则∠AHF=2∠ACF=60°,所以△HAF是正三角形.

反思有关圆的传递角的关系是极其重要的的内容，当问题含有三点距离某一个点距离相同时，可以考虑构造整个圆、部分圆，借助圆的性质与特殊三角形的性质，搭建桥梁，铺设解题的道路；三角形、正方形等各种平面图形的都可以进行结合形成复杂的图形问题，因此，复杂问题的求解需要学生们熟悉掌握各种平面图形的性质.

添加辅助线、构建基本图形是证明平面几何证明问题的法宝，辅助线添加的巧妙，往往会起到化腐朽为神奇，让解题思路焕然一新.在三角形问题中，通过构建合适的圆，熟悉构造圆的情形和应用条件，借助圆和三角形知识有关知识，搭设题设问题与求解问题的联系，得到解题的新思路、新方法，最终实现问题的快速求解与证明.