中考电学最大值问题判别式解法探究

于志洪

(江苏省泰州市森南新村15栋103室 225300)

最值问题是近几年来各类中考中的常见题型，涉及知识面广、隐含变量多、解法灵活多变、技巧性高、灵活性强，蕴含着丰富的数理思想方法，对提高学生的数理思维能力有很大的促进作用.初中电学中，有些关于求最值的习题，同学们对这类问题的解法有一定的困难，常感到无从下手，下面就以部分中考题为例，谈谈如何巧用一元二次方程根的判别式来解电学中的最值问题，供初中物理教师和学生教学时参考.

例1 如图1中，滑动变阻器的最大阻值20Ω，灯丝的电阻为10Ω，电源电压为4V.当滑动变阻器的滑片P移动过程中会使滑动变阻器消耗的电功率最大，这个最大值多大？此时滑动变阻器连入电路的阻值多大？(设电源电压和灯丝阻值均不变)(2013安顺市)

分析此题是电学中的动态电路题，难点是不好确定滑片P位于何处时滑动变阻器消耗电功率最大.因此采用物理方法较难，而采用一元二次方程根的判别式来解就变得简便快捷，通畅易理解.

解设滑动变阻器消耗的电功率为P，则有P=I2R=[U/(RL+R)]2R即P=[4/(10+R)]2R=16R/(10+R)2，展开并整理得：PR2+(20P-16)R+100P=0(1)由于为电阻值必为正值，所以Δ=b2-4ac=(20P-16)2-400P2≥0 所以，P≤0.4W，可见，滑动变阻器消耗的电功率最大值P最大为0.4W.代入(1)式得：R=10Ω.

例2 某同学在做“测定小灯泡电功率”的实验(如图2所示)中，所用灯泡电阻R0为10欧，滑动变阻器的阻值范围为0～20欧，电源电压为4伏(电源电压和灯丝电阻不变)，在移动滑片P的过程中，会使滑动变阻器消耗的电功率最大，这个最大值PM多大？(2012六安市)

分析设电源电压为U，滑动变阻器两端的电压为U1，则电路中的电流I=(U-U1)/R0滑动变阻器消耗的功率P=U1I=U1(U-U1)/R0.在上式中U1和(U-U1)均为变量，要计算P的最大值可用一元二次方程根的判别式对此题作出解答.

例3 如图3所示，电源电压为3V，供电电路的电阻为0.2Ω，试求：电灯泡的最大电功率.(2012东营市)

下面用判别式Δ=b2-4ac≥0来求出极值.

例4 某同学做“测定小灯泡功率”的试验中(如图4所示)，所用灯泡的电阻RL=10Ω,滑动变阻器R1的阻值范围为0～20Ω，电源电压U=4V(电源电压和灯丝电阻均不变).在移动滑片P的过程中会使滑动变阻器消耗的电功率最大，这个最大值PM多大？此时滑动变阻器连入电路的阻值多大？(2013吉安市)

例5 如图5，电源电压为U，电阻R0与变阻器R串联且R0

例6 如图6，滑动变阻器的最大阻值为60欧，问：当滑片P处于什么位置时，a、b间的电阻最大？最大值是多少？(2011锦州市)

分析从图6可知，a、b间的电阻相当于一个定值电阻分成两部分后再并联.

例7 如图7中，ABCD是用粗细均匀的电阻丝烧成的圆环，其总电阻为100Ω.用导线在A点固定相连，B为一滑动键.求当滑动到何处时电路中的电阻值最大？这个最大值为多少欧？(2010吉林市)

解设电阻RACB与RADB并联后的总电阻为R并，则有：1/R并=1/RACB+1/RADB即R并=RACB×RADB/RACB+RADB，RACB+RADB=100Ω，由于R并=RACB(100-RACB)/100，整理得：R2ACB-100RACB+100R并=0.因为RACB>0，所以Δ=1002-400R并≥0，解得R并≤25，即R并的最大值为25Ω.

例8 如图8所示，R1=6欧，R2=12欧，电源电压U=6伏始终不变，求R2消耗的最大功率.(2010大理市)

综上所述可知：物理与数学具有十分密切的关系，物理学是应用数学最多也是最成功的一门科学，因此在解决物理问题时，充分利用数学规律与原理会使物理问题的解决更为简化.注意数学物理知识的渗透融汇研究，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开阔视野，巩固“双基”，提高综合解题水平大有益处.为此笔者建议：在平时教学过程中，有目的地引导学生对一些联系课本内容的知识进行专题研究是十分必要的.