浅谈高职高专导数的概念

摘 要：导数的概念对于高职高专的学生们来说，是很抽象的数学概念。如何让学生在理解的基础上很轻松地记忆这个概念呢？老师在教学过程中进行了如本文中所叙述的教学设计，这样学生们就能很容易地理解导数的概念了

关键词：导数的概念;教学设计;数学概念

为了让高职高专的学生很容易地理解导数的概念，教师对导数的概念的教学进行了如下教学设计。

一、 引例

设函数y=f（x）=x2，y=x2在点x=2及其附近有定义，

（1）当自变量x的取值由x=2变为x=2.01时，x=2叫做自变量的初值，而x=2.01叫做自变量的终值，终值-初值=2.01-2=0.01叫做自变量的增量，用符号Δx表示，即Δx=2.01-2=0.01，则2.01=2+0.01=2+Δx，即自变量的终值=初值+Δx。此时，函数值y的取值由y=f（2）变为y=f（2.01）=f（2+Δx），y=f（2）叫做函数值的初值，y=f（2.01）=f（2+Δx）叫做函数值的终值。

函数值的终值-初值=f（2.01）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）叫做函数值的增量，用符号Δy表示，即Δy=f（2.01）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）。

（2）當自变量x的取值由x=2变为x=1.99时，Δx=1.99-2=-0.01，则1.99=2+（-0.01）=2+Δx，Δy=f（1.99）-f（2）=f（2+Δx）-f（2）。

（3）当自变量x的取值由x=2变为x=2+Δx时，Δy=f（2+Δx）-f（2）。

二、 导数的概念

针对以上第三条结论，我们做如下极限运算：

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（2+Δx）-f（2）Δx

=limΔx→0（2+Δx）2-4Δx

=limΔx→04+4·Δx+（Δx）2-4Δx

=limΔx→0（4+Δx）

=4。

因为极限limΔx→0ΔyΔx存在，我们就称函数y=x2在点x=2处可导，且函数在点x=2处的导数为f′（2）=4或y′|x=2=4。

定义 设函数y=f（x）在点x=x0及其附近有定义，当自变量x的取值由x=x0变为x=x0+Δx时（Δx为自变量x的增量），函数值y的取值由y=f（x0）变为y=f（x0+Δx），此时函数值的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若极限limΔx→0ΔyΔx存在，则称函数y=f（x）在点x=x0处可导，且以上极限值称为函数在点x=x0处的导数，记为f′（x0）或y′|x=x0或dydx|x=x0，

即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx。

练习1 用导数的定义判断函数y=x2在点x=-2处是否可导？

解 函数y=x2在点x=-2处及其附近有定义，

因为limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（-2+Δx）-f（-2）Δx=limΔx→0（-2+Δx）2-4Δx=limΔx→04-4·Δx+（Δx）2-4Δx=limΔx→0（-4+Δx）=-4。

则函数y=x2在点x=-2处可导，且在x=-2处的导数为f′（-2）=-4。

事实上，函数y=x2在任意的一个实数x处都是可导的，此时，函数值的增量表达式为Δy=f（x+Δx）-f（x），带入极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx的运算过程中，可得如下结果：

limΔx→0ΔyΔx=2x，

即函数y=x2在任意的一个实数x处的导数为y′=f′（x）=2x，这个式子也称为函数y=x2在实数集R内的导函数，简称导数。

如同函数y=x2有导函数一样，一切初等函数在其定义的开区间内都是可导的，即有导函数y′=dydx=f′（x）。在后面的学习过程中，我们将通过函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则两大求导法则以及基本求导公式把初等函数的导函数求出来。

三、 基本求导公式

以下六个导数公式是常用基本初等函数的导函数公式：

（1）常数函数y=C的导数公式：C′=0;

（2）幂函数的y=xα的导数公式：（xα）′=αxα-1;

（3）自然对数函数y=lnx的导数公式：（lnx）′=1x;

（4）指数函数y=ex的导数公式：（ex）′=ex;

（5）正弦函数y=sinx的导数公式：（sinx）′=cosx;

（6）余弦函数y=cosx的导数公式：（cosx）′=-sinx。

以上公式都可以通过导数的定义f′（x）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx求出来。

练习2 应用幂函数的求导公式求下列函数的导函数。

（1）y=x6;  （2）y=1x3;  （3）y=5x4。

解 （1）y′=（x6）′=6x6-1=6x5;

（2）y′=1x3′=（x-3）′=-3x-3-1=-3x-4=-3x4;

（3）y′=（5x4）′=（x45）′=45x45-1=45x-15=455x。

作者简介：

郑晓珍，湖北省襄阳市，襄阳职业技术学院。