数列裂项终不悔，只为消得式“憔悴”

福建

数列裂项相消求和的实质是将数列中的每项(通项)进行分解，然后重新组合，使之在求和中能消去一些项，最终达到目的,这也是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.

“裂项相消求和法”是数列求和的重要方法之一，反复出现在全国各省市的高考命题中，命题角度灵活多变.“裂项”是求和过程中的一个关键点，它的模式多样，需要具有敏锐的观察力、丰富的联想、灵活的构思和创造性的思维，才能根据通项的结构特征，进行裂项，以达到求和的目的.裂项相消求和的本质是将数列{an}的通项分裂成新数列邻项或隔项的差，即an=bn-bn+1或an=bn-bn+k，进而在求和过程中实现消项并得出结论.本文根据可裂项相消求和数列通项的特征，归纳如下类型供读者参考.

类型一：通项如型

我们把上述类型的数列称为分式数列，若分式数列是等比数列，直接利用公式求其前n项和；若分式数列不是等比数列，通项an的分母又是自然数积的形式，在求分式数列前n项和的时候，需要裂变an成两项的差，使得求和时大部分的项能被消去，从而达到简化和式的目的.

【例1】(2014·全国大纲卷理·18)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

解：(Ⅰ)an=-3n+13.(过程略)

Tn=b1+b2+…+bn

【评析】通项公式an中分母虽然是两个式子的积，但是分子次数与分母次数相同，通项不是真分式，无法直接裂项，这种情况可以采用先分离常数，将其化为通项是真分式的分式数列，然后再裂项求和.

【例2】(2018·天津卷理·18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，

(i)求Tn；

解：(Ⅰ)an=2n-1;bn=n.(过程略)

类型二：通项如cn=(An+B)qn(A,B为常数，且A≠0，q≠0，q≠1)型

在学习数列求和过程中，也常会遇到形如{anbn}数列的求和({an}为等差数列，{bn}为等比数列)，通常我们可采用错位相减法求和，但其过程计算量大、烦琐.那么，能否考虑用裂项相消法来替代呢？答案是肯定的.

【例3】(2014·四川卷理·19)设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).

(Ⅰ)若a1=-2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

解：(Ⅰ)Sn=n2-3n.(过程略)

【例4】(2018·浙江卷理·20)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1，数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.

解：(Ⅰ)q=2.(过程略)

(Ⅱ)设cn=(bn+1-bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.

由(Ⅰ)可知an=2n-1，

类型三：通项如型

类型四：通项如型

(Ⅰ)求a3的值；

(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn；

所以Sn=b1+b2+…+bn

所以f(x)在(1,+∞)上是增函数，因为f(1)=0，所以f(x)>0，