例谈数学抽象素养的表征与养育——高考数学中的识别、理解、转化、概括、直觉

江苏浙江

高考数学中学生呈现的数学抽象能力是平时数学教学养育而成的，是较长时间训练积累的爆发，因此研究高考数学抽象能力应该关注日常复习教学的养育过程及其表征.

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论—般、有序多级的系统.通过数学抽象核心素养的养育，学生能够更好地理解数学的概念、命题、方法和体系，形成一般性思考问题的习惯，能够在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征.

为什么提“养育”，而不是培养或训练？主要体现笔者长期坚持的一种教育理念——任何一种素养的形成都是在一个较长时期才能形成的，如同我们养育一个孩子一样，形成一种良好习惯和素养更是如此.目前中小学数学教学中有一种现象：数学教学中，教师关心最多的是学生的“算术头脑”特征——即解题与结果，看重人工计算速度和准确度，而忽略学生的“数学头脑”特征——即数学概念的形成及抽象过程，看重数学对象之间的关系，这一现象的文化背景就是“急功近利”思想在教育中的反映.

高考数学复习教学中如何真正的养育中学生的数学抽象素养，是一个值得冷静思考的问题.即在课堂上，知识传授过程中；在辅导时，问题求解过程中；在测试时，问题设计过程中，是否真正关注到数学抽象语言的识别，数学抽象符号的理解，数学抽象语言的转化，问题抽象的表达与概括，数学抽象意识的直觉等.数学抽象的“识别，理解，转化，概括，直觉”五个层次，从教学角度而言，个个重要，个个都需要花很大气力才能有所收获，下面通过具体例题来解读，以引起教学实践者的注意.

1.数学抽象语言的识别能力

学习数学的符号语言，特别是抽象的符号语言，首先要学会识别它.在中学数学教材中，有许多基本的符号语言，一要读它认识它，比如人民教育出版社A版数学必修1在阅读材料中有符号“card(A)”，但是许多学生不认识，在高考数学命题时，命题专家还要特别指明，多么可悲的一件事；二是学会理解它，比如集合列举法与描述法，是集合语言的两种基本表示方法，然而在下列一组检测题中，第(3)题都有考生出错.

例1.(1)设集合A={x|y=x2}，B={x|y=2x}，则A∩B=________.

(2)集合A={y|y=x2}，B={y|y=2x}，则A∩B=________.

(3)集合A={y=x2}，B={y=2x}，则A∩B=________.

(4)集合A={(x,y)|y=x2,x≥0}，B={(x,y)|y=2x}，则A∩B=________.

养育指导：4道题中集合的表示的语言都不同，有明显差异，应该区别与理解，测试结果令人费解，100多名高三学生接受测试，最好的结果是做对2.5题，由此引起数学教师的教学思考，课堂复习教学在数学抽象符号语言的识别中做了什么，是否到位，一个连题干都看不懂的试题，还能应试解决它吗？诸如“∑”“ln”“card”也一直是学生不认识的符号，为此建议在教学中引导学生关注数学抽象语言——符号语言，以及用符号语言编织的表达形式，强调这种关注的必要性.

2.数学抽象符号的理解能力

数学语言是由文字表征语言、符号抽象语言、图形直观语言所组合的语言系统，其中的符号抽象语言也是数学学科最重要的特征之一，面对由抽象符号语言组成的问题或命题，只有理解它才能解决它，抽象的符号语言从识别到理解，经过的路越短，理解力就越强.

信息“c与a-b所成的角为120°”说明：∠ADC=120°，从而∠ODM0=60°.

养育指导：由抽象的符号语言编织的数学表达形式浓缩着丰富的数学信息，挖掘它才能理解它，引导学生善于挖掘题干条件，对待问题不能线性思考，而是多角度多方向思考，并成为解题的一种思考习惯.

3.数学抽象语言的转化能力

数学问题由数学语言组成，对于抽象的数学语言，要理解题意，寻找解题途径，首先就是能将抽象语言转化下去，寻找到可以直观地理解的形式，这种能力建立在对数学概念、方法、思想的深刻理解.

例4.若函数y=log2(ax2+2x+1)的值域为R，则a的取值范围为________.

问题转化为“由y=log2u的值域为R，则u要取到大于0的一切实数，因此u=ax2+2x+1的判别式Δ=4-4a≥0，所以a≤1”.

养育指导：数学思想中“等价转化与化归思想”是一个重要而难以掌握的思想，但是积极引导、不断示范、深刻地揭示，使学生慢慢地体悟，学生开窍了教师就成功了.

4.问题的抽象表达概括能力

现实生活中的数学问题有两个方向进入人们的视野，一是建立数学模型，即数学化；二是由特殊到一般，建立反映本质特征的一般结论，这两个方向都需要抽象表达的概括能力，而这种数学能力已成为其他学科，如物理、化学、生物等研究结论、规律表达的基本形式.

例5.出自人民教育出版社A版数学必修1，P82第6题：比较log67与log76的大小.

归纳问题1.比较大小：logn(n+1)与log(n+1)n，n为正整数.

归纳问题2.比较大小：loga(a+1)与log(a+1)a，a>0，a≠1.

探究后得到的结论：

结论1.当a>1时，loga(a+1)>logaa=1，log(a+1)alog(a+1)a；

然后引伸到幂指数的比较：

归纳问题3.比较大小：aa+1与(a+1)a(a>0，a≠1).

结论4.当0

例6.在2019年央视春晚小品《占位子》中，几位家长为了给孩子占到教室的C位各施技巧，闹出了一场令人啼笑皆非的笑话，现有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法.

(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.

(Ⅱ)因学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的取值为0，2，3，4，

当ξ取值0时，表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同；

当ξ取值2时，表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同；

当ξ取值3时，表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同；

当ξ取值4时，表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，

所以随机变量ξ的概率分布列为

ξ0234P124141338

一般模型：在2019年央视春晚小品《占位子》中，几位家长为了给孩子占到教室的C位各施技巧，闹出了一场令人啼笑皆非的笑话，现有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.

解析：ξ的取值为0，2，3，4，…，n，

养育指导：此问题的数学模型是概率论中著名的“装错信封问题”，用数学眼光看春晚，数学建模的意识与能力在养育中形成.

以上2个问题的抽象表达是在数学研究性学习中形成的概括，在复习教学中也应成为常态，这一能力也是在探寻过程中养育的！

5.数学抽象意识的直觉潜力

具体问题的数学抽象，从抽象意识层面必须建立在直觉思维的前提下，并不是每个问题每个人面对具体问题时都能够想到去抽象、去一般化，如何养育这种直觉潜力？最接近学生认知水平的学习方式就是数学研究性学习，在国外教育中，许多从小学就开始训练的专题或项目研究，学生从小学就开始小课题研究，学会提出有意义的数学问题，学会思考从特殊到一般的数学问题，只有经过如此过程的养育，数学抽象的意识、抽象的直觉潜能才能得到呈现.

在例5中，面对两个结构明显的对数“log67与log76”，真数与底数的数字交换，此问题一直在数学教材中，没有数学抽象意识的直觉潜力，也无法想象出一般的两个对数“loga(a+1)与log(a+1)a，a>0，a≠1”比较与研究，而通过数学抽象更加能提升学生创新能力的培养，在例6中，从春晚一个小品中思考其数学问题，提出数学问题本身就需要直觉意识.

养育指导：学生的直觉思维养育关键在于引导，在特定的课程上，比如数学研究性学习的课堂上，给出一些问题情境，让学生经过一些思考后，立即表达自己的想法，对于具有直觉思维的表达给出评判与鼓励，作出示范引导，只有在交流中才会产生直觉思维！

学生在高考数学应试中呈现的数学抽象思维正是对问题的“识别、理解、转化、概括、直觉”，所以数学复习教学设计中，五大表征训练要努力达到：

问题识别无障碍——顺利通过审题关；

语言理解真到位——解题制定策略关；

模型转化到本质——积累突破思想关；

表达概括求简洁——脑海处处模型关；