对一道椭圆试题的探究

安徽

数学作为高考的一门重要科目，无疑受到大家的普遍重视.老师与学生对数学都投入了大量时间，可有时事与愿违，收效甚微.考试后学生经常说“这道题我好像做过，但还是做不出来”；老师经常想“这道题，我上课讲过，又布置过作业，学生怎么还是不会？”问题到底出在哪里呢？笔者认为，这很可能与平时的教学活动密不可分，老师的教与学生的学仅就题论题，对问题停留在知识、方法表象层次上，没有挖掘，更没有体会数学问题背后的“根”，以至于做再多的题目，也只是事倍功半.那问题如何解决呢？这里笔者以对一道椭圆试题的探究为例来抛砖引玉.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设M,N是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，A(x1,0)，B(x2,0)为x轴上两点，且x1x2=2，证明：直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上.

这里只对第(Ⅱ)题的解法进行探讨.

解法1(通性通法，少思多算)：如图所示，令M(s,t)，则N(s,-t).

=1

=右边，

故方程成立，即直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上.

【点评】这里证明“直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上”，直接利用直线MA,NB的方程求出交点P的坐标，验证坐标满足椭圆E的方程.“思路很自然，运算有点繁”，计算过程中出现了4个未知数s,t,x1,x2，需要利用椭圆方程进行消元，利用已知条件x1x2=2化简，最后还有3个未知数却刚好可以整体消去，让人觉得不可思议.那么计算可以简化吗？

解法2(构造转化，多思少算)：题目中的条件“x1x2=2”的结构特征会让你联想起什么？在解法1中，直线MA,NB的方程结构会让你有何想法？

令P(x0,y0)，由解法1知

【点评】本解法注意到已知条件“x1x2=2”的结构特征，利用韦达定理，进一步消元，使得计算量大大减小.但必须想到在两直线方程两边分别平方，得到关于x1,x2的一元二次方程，再次利用“同构原理”得到关于x的一元二次方程才能解决问题，做到这点确实有一定难度，同时也体现了方程思想.那么不平方可以吗？

解法3(大道至简，深思妙算)：要证明P在椭圆E上，只需要证明什么？“M,N是椭圆E上关于x轴对称的不同两点”这个条件该如何利用？解法2的解题过程能给你什么启发或方向？能否进一步优化解法？在解题中“美好的希望”往往就是化简的方向.

令P(x0,y0)，M(s,t)，则N(s,-t).

【点评】本解法充分利用两直线方程，两边分别相乘，出现“x1x2”的因式，从而整体代换，再利用椭圆方程进行消元，运算进一步简化，也更容易操作.问题还能进一步拓展吗？

探究1(拓展)：题目的条件为什么要假设x1x2=2，这个数字2与椭圆E中的相关参数有何关系？有何猜想？

追问：可以证明吗？其逆命题是否成立？

证明：令P(x0,y0)，M(s,t)，则N(s,-t).

证明：令P(x0,y0)，M(s,t)，则N(s,-t).

化简得x1x2=a2.

探究2(类比)：双曲线是否有同样的结论呢？可以证明吗？

证明：如图所示，令P(x0,y0)，M(s,t)，则N(s,-t).

证明：令P(x0,y0)，M(s,t)，则N(s,-t).

化简得x1x2=a2.

在教学中，对每一个数学问题的解决可以多提出一些问题：

①所研究问题与以前的哪些问题相似，解决此类问题的基本思路是什么？

②解题的关键在哪里？是如何化归的？

③本题是否有别的解法？有无更好的解法？

④哪一种方法最基础、最典型？哪一种最简便？哪一种最巧妙?

⑤解题结果是否正确？有无增、漏、错解等情况？

⑥命题的逆命题是否成立？此命题能否进行变式、引申和拓展？

⑦解题中运用了哪些数学思想方法？以前是否运用过这些数学思想方法？有何联系与区别？是否具有规律性？

通过对这些问题的思考与探究，有助于我们对问题的进一步认识，可能会有新的发现，新的收获，给我们带来惊喜.