点几何的解题应用：复数恒等式篇

彭翕成,张景中,2

(1.华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079； 2. 广州大学 计算科技研究院 510006)

数学大师陈省身先生认为[1]，数学有“好”和“不好”之分.所谓“好”，就是意义深远、可以不断深入、影响许多学科的课题；“不好”则是仅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的题目.陈先生举例，拿破仑定理很美，但深入研究之后发展有限，不是好的数学；方程是好的数学.代数方程，不定方程，超越方程，函数方程，微分方程，各门科学技术离不开方程，意义深远，影响广大，永远研究不完！

拿破仑定理这样的问题好比珍珠,光彩夺目，赏玩起来爱不释手.但一粒珍珠再漂亮也是一粒珍珠，它缺活力，难生长.而方程这样的问题好比种子.种子不一定闪闪发光，不见得赏心悦目.可它是生命，有活力.它可能长成参天大树，可能吐出万紫千红.在数学家眼里，种子比珍珠更可爱.话说回来，数学大师的话，虽然极有启发性，却也不是定理或法律.喜爱拿破仑定理的依然可以孜孜不倦.有人重视种子，有人收藏珍珠，世界是多样化的.何况，两者也不能截然分开，从拿破仑定理，也不是不能走向方程的[2].

图1

图2

例1如图2，△ABC中,分别以三边为边长同时向外作正△CBF、△ACD、△BAE,其中O1，O2，O3分别是△CBF、△ACD、△BAE的重心,则△O1O2O3为正三角形.(拿破仑定理)

按点字母展开得

解方程

所以得到恒等式

说明：这样的解法，要比从条件中求出D、E、F再代入计算繁琐一点.但如果注意计算技巧，由于方程个数比未知数个数要多，可先计算简单方程，再代入复杂方程检验即可.得到恒等式之后，我们会得到更一般的结论：如图2，△ABC中,分别以三边为边长同时向外作△CBF、△ACD、△BAE,其中O1，O2，O3分别是△CBF、△ACD、△BAE的重心,若△CBF、△ACD、△BAE、△O1O2O3其中三个为正三角形,则第四个也必为正三角形.

先将题目条件和结论代数化表示，然后通过待定系数法建立恒等式，将条件和结论联系起来，不单可以证明原命题，还可以得到新的命题.其原理是，n项相加为0，其中若n-1项为0，剩余那一项必为0.下面我们给出更多的案例，以及对应的恒等式，计算过程则略去.审查这样的恒等式证明，无需一步步演绎推导，只要看每一部分是否对应着一个题目条件(或结论)，然后判断整个式子是否恒为0即可.

例2如图2，分别以△ABC三边为边长同时向外作等边△CBF、等边△ACD、等边△BAE,求证:△ABC是等边三角形的充要条件是△DEF是等边三角形.

恒等式暗示了更一般的结论:如图2,分别以△ABC三边为边长同时向外作△CBF、△ACD、△BAE,求证: △CBF、△ACD、△BAE、△ABC、△DEF，若其中四个为正三角形,第五个也必为正三角形.

例3如图3，△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.(2011年四川中考题)

图3

图4

例4如图4，BD,CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证：AP=AQ，AP⊥AQ.

证明[(A-P)-(A-Q)i]-i[(Q-C)-(A-B)i]-[(B-P)-(A-C)i]=0.

例5如图5，△ABC，以AB为斜边向形外作等腰直角△DBA，以AC为斜边向形外作等腰直角△ACE，F是BC中点，求证：△DFE是等腰直角三角形.(1996年爱尔兰数学竞赛)

图5

图6

例6如图6，△ABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，且DB=BC，EB⊥BA，且EB=BA，DA、EC的延长线相交于F,求证AF⊥CF.

证明[(D-A)-i(C-E)]-[(D-B)-(C-B)i]+[(A-B)-(E-B)i]=0.

例7如图7，过△ABC的边AB、AC往外作两个正方形ABEF、ACGH，P是EG的中点，则BP⊥CP且BP=CP．

图7

图8

例8如图8，正方形ABCD内作等腰△ABE,∠EAB=∠EBA=15°.求证:△CDE是正三角形.

例9如图9，任意△ABC的边上向外作△BPC,△CQA,△ARB,使∠PBC=∠CAQ=45°,∠BCP=∠QCA=30°,∠ABR=∠BAR=15°.求证:∠QRP=90°,QR=RP.(第17届国际数学竞赛题)

图9

图10

例10如图10，四边形ABCD,BE⊥AB且BE=AB,DF⊥AD且DF=AD,BG⊥BC且BG=BC,DH⊥CD且DH=CD.求证:若E,C,F共线,则A,G,H也共线.(叶中豪供题)

证明已知E,C,F共线,则可设sF+(1-s)·E-C=0，则有恒等式

例11如图11，已知六边形ABCDEF,以它的六条边为底边向外作正三角形△ABC1,△BCD1,△CDE1,△DEF1,△EFA1,△FAB1.若△B1D1F1为正三角形,证明△A1C1E1也是正三角形.

图11

说明：△ABC1,△BCD1,△CDE1,△DEF1,△EFA1,△FAB1，△B1D1F1，△A1C1E1中，任意七个为正三角形,第八个必为正三角形.

例12如图12，以四边形ABCD的四条边为底边向外作等腰直角△BAA1,△CBB1,△DCC1,△ADD1.M、N、P、Q分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点,证明四边形MNPQ是正方形.

图12

图13

例13如图13，已知四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,以EF、FG、GH、HE为底边向外作等腰直角△FEA1,△GFB1,△HGC1,△EHD1.证明四边形A1B1C1D1是正方形.