几个三角形不等式的再推广

李永利

(河南质量工程职业学院 467001)

1 引言

在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. 文[1]建立了如下三个三角形不等式：

(1)

(2)

(3)

文[2]另辟蹊径，对以上三个不等式进行了指数推广及其类似，得出如下四个定理：

定理1在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，则当指数k≥1时，有

≥akcosA+bkcosB+ckcosC.

(4)

定理2在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c， 且指数k为正数，则有

(5)

定理3在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，则指数k≥1时，有

(6)

定理4在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c， 且指数k为正数，则有

(7)

其中，不等式链(4)，(6)两式中的第二个不等式，指数k均可放宽为正数.

受文[2]启发，本文将对以上四个不等式链(4)，(5)，(6)，(7)式进行再推广，得出更一般的结论.本文结论的证明方法同文[2].

2 结论及证明

≥f(a)cosA+f(b)cosB+f(c)cosC.

(8)

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

记(8)式第一个不等式左右两端之差为M1，并注意到三角形不等式[1]58

则

≥0，

故(8)式中的第一个不等式成立.

下面再证(8)式中的第二不等式. 由该不等式的完全对称性，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c.

下面证明f(x)也是(0,+∞)内的非负单增函数.

事实上，若设00.

于是

f(x2)-f(x1)

f(a)≥f(b)≥f(c)≥0.

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

记(8)式中第二个不等式左右两端之差为N1，并注意到三角形不等式

则

故(8)式右端的不等式成立.

由以上证明可知不等式链(8)成立.

定理2′在△ABC中，设三内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，f(x)为(0,+∞)内的非负单增函数，则有

(9)

证明先证(9)式中第一个不等式.由该不等式的完全对称性，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，A≥60°，C≤60°，而f(x)为(0,+∞)内的非负单增函数，于是可得

记(9)式中第一个不等式左右两端之差为M2，并注意到不等式

则

故(9)式中第一个不等式成立.

下面证明(9)式中的第二个不等式. 利用正弦、余弦的平方关系，将(9)式中第一个不等式中的正弦函数化为余弦函数，得

移项整理，即得(9)式中的第二个不等式.

由以上证明可知不等式链(9)成立.

定理3′在△ABC中，设三内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c， 函数xf(x)为(0,+∞)内的非负单减函数，则有

f(a)cosA+f(b)cosB+f(c)cosC

(10)

证明先证(10)式中的第一个不等式.由该不等式的完全对称性，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，而xf(x)为(0,+∞)内的非负单减函数，于是可得

0≤af(a)≤bf(b)≤cf(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

记(10)式中第一个不等式左右两端之差为M3，并利用余弦定理可得

故(10)式中的第一个不等式成立.

下面再证(10)式的第二个不等式. 由该不等式的完全对称性，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c.下面证明f(x)也是(0,+∞)内的非负单减函数.

事实上，若设0

故有x2f(x2)-x1f(x1)≤0，

于是

f(x2)-f(x1)

0≤f(a)≤f(b)≤f(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

于是有

记(10)式第二个不等式左右两端之差为N3，并注意到三角形不等式

则

故(10)式中的第二个不等式成立.

由以上证明可知不等式链(10)成立.

定理4′在△ABC中，设三内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，f(x)为(0,+∞)内的非负单减函数，则有

f(a)cos2A+f(b)cos2B+f(c)cos2C

(11)

证明先证(11)式的第一个不等式.

由该不等式的完全对称性，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，而f(x)为(0,+∞)内的非负单减函数，于是可得

0≤f(a)≤f(b)≤f(c).

而由A≥B≥C可知A≥60°，C≤60°.

以下分两种情形进行证明：

情形1当60°≤A≤120°时，此时有

记(11)式中的第一个不等式左右两端之差为M4，并注意到不等式

则

故此时(11)式中的第一个不等式成立.

情形2当120°

则此时显然有

即此时(11)式中第一个不等式也成立.

由以上两种情形的证明可知(11)式中的第一个不等式成立.

下面再证(11)式中的第二个不等式.

利用正弦、余弦的平方关系，将不等式(11)中的第一个不等式中的余弦函数化为正弦函数，得

移项整理，即得(11)式中的第二个不等式.

由以上证明可知不等式链(11)成立.

3 注记