Guggenheimer不等式的高次加权推广

费红亮,曾善鹏 ,杨学枝

(1.杭州高级中学 310003；2.杭州市电子信息职业学校 310021；3.福州市福州第二十四中学 350015)

1 问题背景

1967年，H.W.Guggenheimer建立了如下不等式，我们称之为Guggenheimer不等式.

定理A[1].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，则有

PA+PB+PC

1971年，M.S.Klamkin得到上述不等式二次形式，我们称之为Klamkin不等式.

定理B[2].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，则有

PA2+PB2+PC2

1989年，陈计对定理B进行推广得到如下结果.

定理C[3].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，n是任意正整数，则

PAn+PBn+PCn

实际上，可以得到Guggenheimer不等式和klamkin不等式的加强形式.

定理D[4][5].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

PA+PB+PC

定理E[5].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

PA2+PB2+PC2

2018年，曾善鹏和费红亮老师对定理C、D进行加权推广得到

定理F[6].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，λ,u,v为任意正实数，若a≥b≥c，则有

λPA+uPB+vPC

定理G[6].P是△ABC中任意一点，a,b,c是三角形三边，λ,u,v为任意正实数，若a≥b≥c，则有

λPA2+uPB2+vPC2

类比于定理F、G，本文对定理F进行加权推广得到如下

命题1设△ABC三边长为BC=a,CA=b,AB=c，且c最小，P为△ABC内部任意一点，λ,u,v为任意正实数，n∈N*，则

λPAn+uPBn+vPCn≤max{u,v}an+max{v,λ}bn.

于是，得到

=yc+zb，

下面先证明

①

应用数学归纳法证明式①.

当n=1时式①为等式；当n=2时，易证

⟺ (yc+zb)2≤(x+y+z)(yc2+zb2)

⟺ 2yzbc≤(x+z)yc2+(x+z)zb2，

≥2yzbc，因此上式成立，式①得证.

假设n=k时式①成立，即

当n=k+1，有

这时，只要证明

⟺ (yck+zbk)(yc+zb)

≤(x+y+z)(yck+1+zbk+1)，

⟺ (yck+zbk)(yc+zb)

≤(y+z)(yck+1+zbk+1)

⟺bkc+bck≤bk+1+ck+1，

⟺ (bk-ck)(b-c)≥0，

上式显然成立，故当n=k+1时，式①也成立，从而式①获证.

同理可证另外类似两式：

于是，要证明原命题1，只要证明

≤max{u,v}an+max{v,λ}bn.

②

式②右边-左边

=(x+y+z)[max{u,v}an+max{v,λ}bn]

-[(uz+vy)an+(vx+λz)bn+(λy+ux)cn]

=[(x+y+z)max{u,v}-(uz+vy)]an+[(x+y+z)max{v,λ}-(vx+λz)]bn-(λy+ux)cn

≥xmax{u,v}an+ymax{v,λ}bn-(λy+ux)cn

≥[xmax{u,v}+ymax{v,λ}-(λy+ux)]cn

≥0.

由此可知，式②成立，原命题1获证.

根据命题1证明，容易得到以下

命题2(自创题)设△ABC三边长为BC=a,CA=b,AB=c，且c最小，P为△ABC内部任意一点，λ,u,v为任意正实数，α≥1，则

λPAα+uPBα+vPCα≤max{u,v}aα+max{v,λ}bα.