一种利用微积分法推广反三角恒等式的方法

◎马志良

(兰州资源环境职业技术学院基础部，甘肃　兰州　730021)

一、反三角恒等式

通常所说的反三角恒等式是指以下四个等式：

arccos(cosx)=x，x∈[0，π]；

arccot(cotx)=x，x∈(0，π).

二、反三角恒等式的推广

(一)arcsin(sinx)在一般区间上的恒等式

所以[arcsin(sinx)]′=(-1)k，

把x=kπ代入上式，可得0=(-1)kkπ+C，

所以C=-(-1)kkπ，

得恒等式arcsin(sinx)=(-1)k(x-kπ).

(二)arccos(cosx)在一般区间[kπ，(k+1)π]上的恒等式

因为x∈[kπ，(k+1)π]，

所以[arccos(cosx)]′=(-1)k，

(三)arctan(tanx)在一般区间上的恒等式

把x=kπ代入上式，可得0=kπ+C，所以C=-kπ，

得恒等式arctan(tanx)=x-kπ.

(四)arccot(cotx)在一般区间(kπ，(k+1)π)上的恒等式

所以C=-kπ，

得恒等式arccot(cotx)=x-kπ.

(五)arccos(sinx)在一般区间上的恒等式

所以[arccos(sinx)]′=(-1)k+1，

(六)arcsin(cosx)在一般区间[kπ，(k+1)π]上的恒等式

因为x∈[kπ，(k+1)π]，

所以[arcsin(cosx)]′=(-1)k+1，

(七)arccot(tanx)在一般区间上的恒等式

(八)arctan(cotx)在一般区间(kπ，(k+1)π)上的恒等式

arcsin(sinx)=(-1)k(x-kπ).