从一道圆锥曲线解答题谈解析几何备考策略

甘肃

2018年数学全国卷Ⅲ理科第20题总体上保持了近几年来的命题特色，是一道直线与椭圆的位置关系的问题，并以中点弦问题为依托，主要考查了直线与椭圆的位置关系以及等差数列，体现了高考试题在知识交汇处命题的特点，考查了数形结合思想，也考查了考生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.其中，第(Ⅰ)问容易入手，第(Ⅱ)问难度较大，前后两问之间有很好的梯度性，具有很好的选拔功能.本文对这道试题进行解法、源头和变式探究，并结合这道试题来谈一下解析几何的备考策略.

一、真题再现

二、解法探究

则Δ=64k2t2-4(4t2-12)(3+4k2)>0，得

4k2+3>t2， ①

因为m>0，所以t>0，k<0，

整理可得(3cos2α+4sin2α)t2+(6cosα+8msinα)t+4m2-9=0，

由t的几何意义知|MA|=|t1|，|MB|=|t2|，因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，

因为M(1,m)，F(1,0)，所以P的坐标为(1,-2m)，

【解法赏析】第(Ⅰ)问的证法1运用了点差法，点差法可以看成破解圆锥曲线中点弦问题的通法；第(Ⅰ)问的证法2运用了线参法，将直线方程和椭圆方程联立后运用韦达定理和坐标运算，发挥判别式的制约作用；第(Ⅰ)问的证法3运用了参数方程法，令人耳目一新.第(Ⅱ)问既运用了点差法，又运用了线参法，利用等差中项的定义证明了等差数列，体现了函数与方程、化归与转化的思想.从以上可以看出，选择的解法不同，运算的繁琐程度不同.本题中的运算是借助几何图形进行的代数运算，考查了运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.解析几何的运算通常集“繁、长、巧”于一体，让很多同学望而生畏.究其原因，主要是同学们在运算量的判断上出了问题，不能预估所选的解题方法会有怎样的运算量.若在解题过程中，同学们能认识到解题环节产生的运算，并通过分析进行合理的调控，更深入地理解运算方法，这样就可以提高运算的灵活性.

三、源头探究

“问渠那得清如许？为有源头活水来” .接下来探索这道题的源头，揭开这道题的“庐山真面目”.

1.源头1

(1)这组直线何时与椭圆相交？

(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.

真是“众里寻它千百度，那题却在课本习题处”,也体现了“高考题源于课本，高于课本”.

2.源头2

在历年高考真题中，也有该高考题的“影子”：(2015·全国卷Ⅱ理·20)：

已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

通过探源，我们发现这道题既可以看成改编自课本，也可看成改编自历年高考真题.

四、变式探究

圆锥曲线有很多类似的性质，笔者模仿命题者的命题思路，对以上试题进行改编，得到一道变式题.

变式已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于A,B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0).

(Ⅰ)证明：k>1；

因为点M在抛物线C内，所以m2<4，结合m>0，所以0

所以k>1.

(Ⅱ)由题设可得F(1,0)，设P(x0,y0)，

所以x0=1，y0=-2m，

因为点P在抛物线C上，所以(-2m)2=4，解得m=1，所以P(1,-2)，

k=2，

所以直线l的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1，

五、对2019年备考策略的建议

1.回归课本，夯实基础，构建知识网络

近几年高考数学试题遵循“大稳定，小创新”的方针，重视基础知识和基本技能的考查.同时，通过上面对圆锥曲线真题的分析，发现该真题源自课本.因此回归课本应贯穿圆锥曲线复习的始终.因为课本是数学知识的“生长地”，课本是高考复习的“根据地”，课本是高考试题的“策源地”，回归课本是高考复习的起点，从高考的要求出发，把课本熟化，公式定理能信手拈来，基本题型能“借题发挥”.在回归课本的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.

2.注重通性通法

高考中解析几何试题通常是对常见题型进行加工改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，加工为高立意、新情境、巧设问的解析几何问题，坚持新题不难，难题不怪的命题方向.这要求同学们通过高中的学习掌握基础知识、基本概念、基本技能和基本数学思想，通过对教材中基本例、习题的变通，积累常规问题的解法，反复体会其中蕴含的思维方法.把解题方法提高到数学思想的高度，提高分析和解决综合问题的能力.例如，对于圆锥曲线的中点弦问题，要优先考虑点差法.对于求椭圆离心率的题目，大多要利用数形结合法，结合椭圆的定义求解.对于抛物线的焦点弦和焦半径问题，要根据焦点弦公式和焦半径公式，并结合抛物线定义求解.在求椭圆的弦长时，利用弦长公式，运用设而不求的方法求解.

3.提高数学运算求解能力，培养数学运算的核心素养

高考数学答卷中反映出的问题之一是部分考生的运算能力差，有的考生想的很好，但运算不过关，一遇到复杂试题，从一开始就错，并且自己没有自查能力，一直错到底.而出错的原因往往很明显，就是诸如一个符号的问题，直线方程和圆锥曲线方程联立化简整理时出错.数学运算能力的培养不仅仅是高三复习的事，更应该贯穿于高中数学学习的始终.特别是解析几何解答题，综合性强，代数推理和运算求解能力要求高，繁杂和冗长的计算是必不可少的，因此同学们要通过强化数学思想方法，特别是函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论等的理解与应用，从而提高自己的运算求解能力，培养自身的数学运算核心素养.

4.研究历年高考真题，体会命题专家的命题思路

高考试题不仅具有选拔功能，还具有很好的教育功能.高考试题凝结了命题专家的智慧与匠心，具有较强的原创性与指导意义，有利于考查考生的探究意识与创新精神.有部分高考试题是往年真题的同类题或“翻版”， 因此，在平时的学习中，对高考试题进行适当发散研究，不仅可以理清脉络，把握高中数学主干知识，避免高三复习的随意性、盲目性，而且可以有效训练考生的数学思维，提高探究能力，培养创新意识.

5.重视选修知识，关注知识交汇