透视高考中的“平面折叠型”问题

安徽

所谓“平面折叠型”问题，即将平面图形通过折叠变成立体图形,让静止问题动态化,有效考查空间线线、线面、面面的关系，更有效考查空间角、空间距离、空间几何体的体积与表面积，考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，使得对立体几何的考查显得更加丰富多彩.“平面折叠型”问题是近几年高考和模考考查立体几何的热点，比如2016年和2018年全国卷解答题就有考查.下面结合典型试题予以介绍，供参考.

1.正方形中的折叠

【例1】如图，在一个边长为a的正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1，S2，S3，S4重合于点S,且折叠后的四棱锥S-ABCD的外接球的表面积是16π，则a=________.

【评注】本题对正方形中的图形进行折叠，形成一个所有棱都相等的特殊四棱锥.主要考查折叠问题的特征、特殊四棱锥外接球及其表面积计算等.注意所有棱都相等的特殊四棱锥，可以补成一个正八面体，其外接球的球心就是正方形ABCD对角线的交点.

2.等腰梯形中的折叠

【例2】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2DC，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P.

(Ⅰ)在折后的三棱锥P—DCE中，证明：PE⊥CD;

【解析】(Ⅰ)折后的三棱锥P—DCE如图所示.取线段CD的中点F,连接PF,EF.在△PDC中，PD=PC,F是CD的中点，所以PF⊥CD.

在△EDC中，ED=EC,F是CD的中点，

所以EF⊥CD.因此CD⊥平面PEF.

而PE⊂平面PEF，所以PE⊥CD.

(Ⅱ)当∠DEC=60°时，三棱锥P—DCE是正四面体，设其棱长为a.

【评注】证明线线垂直、多面体的体积与表面积的计算，在平面折叠型问题中常常出现.

本题主要考查等腰梯形折叠成立体图形、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系、由三棱锥的体积求表面积和平面几何相关知识，体现对直观想象、逻辑推理和数学运算三种核心素养的考查.本题折叠前后，不变的有ED=EC,PD=PC,△PDE全等于△PEC,但△PDE与△PEC的位置发生了变化.

3.正三角形中的折叠

【例3】如图，正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起(其中P在AB边上，Q在AC边上)，使平面APQ⊥平面BPQC.D,E分别是PQ,BC的中点.

(Ⅰ)证明：PQ⊥平面ADE；

(Ⅱ)若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d的最小值.

【解析】(Ⅰ)连接AD,DE,AE.在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ.又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE⊥PQ.

而AD∩DE=D,所以PQ⊥平面ADE.

(Ⅱ)因为平面APQ⊥平面BPQC,AD⊥PQ，所以AD⊥平面PBCQ.连接BD，则d2=AD2+BD2.

【评注】证明线面垂直、求点与点的距离在平面折叠型问题中常常出现.本题主要考查正三角形折叠成立体图形、线面垂直的判定、面面垂直的性质、建立目标函数求最值，在图形变化中考查直观想象，在推理证明与建立函数中考查逻辑推理和数学运算.本题将正三角形折成了一个直二面角，折叠后的△APQ、梯形BPQC与折叠前的不变，只是位置发生了改变(垂直).A，B两点间的距离发生了变化，且随平行线PQ位置的变化而变化.因此要建立d关于x的目标函数，利用函数求d的最小值.

4.平行四边形中的折叠

【例4】如图，在平行四边形ABCD中，4AB2+2BD2=1，AB⊥BD，沿BD将四边形折成直二面角A-BD-C.

(Ⅰ)证明：AB⊥BC，CD⊥AD；

(Ⅱ)求三棱锥A—BCD外接球的体积.

【解析】(Ⅰ)因为平面BDC⊥平面ABD，AB⊥BD，二面角A-BD-C是直二面角，

平面BDC∩平面ABD=BD,所以AB⊥平面BDC.

而BC⊂平面BDC,所以AB⊥BC.同理可得CD⊥AD.

(Ⅱ)取AC的中点O,则O是直角三角形ABC和直角三角形ADC斜边的中点，

【评注】本题以特殊的平行四边形为载体，主要考查折叠问题的特征、线线垂直的判定、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、四面体外接球的体积计算等.这里的平行四边形的一条对角线与一边垂直，先注意正确画图，再利用折叠前后垂直不变性和度量不变性处理证明问题.通过观察折叠前后位置关系与度量关系的变化情况,寻找三棱锥A—BCD外接球的球心是解题的关键.多面体的外接球问题是近几年高考的热点，常常与相关知识融合，具有背景新、结构新、解法新的特点，要引起足够重视.

5.直角三角形中的折叠

(Ⅰ)证明：AD⊥平面DBCE；

(Ⅱ)求二面角A-EC-B的余弦值.

即∠ADB=90°,AD⊥DB.

而平面ADE∩平面DBCE=DE,所以AD⊥平面DBCE.

(Ⅱ)解法1(几何法)：过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.

易知AF⊥FC,因此∠AFD为二面角A-EC-B的平面角.

设平面AEC的法向量为m=(x,y,z),

取m=(-4,3,4).又因为底面DBCE的一个法向量为n=(0,0,1),

6.矩形中的折叠

【例6】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.

(Ⅰ)证明：DK⊥AF；

(Ⅱ)设AK=t，EF=x,求t=f(x)的解析式，并确定f(x)的值域.

【解析】(Ⅰ)因为平面ABD⊥平面ABC,

平面ABD∩平面ABC=AB,DK⊥AB,AB⊂平面ABC,

所以DK⊥平面ABC.

又因为AF⊂平面ABC,所以DK⊥AF.

(Ⅱ)如图，作FG⊥AB于G.因为EF=x,所以DF=1+x.

因为平面ABD⊥平面ABC,所以FG⊥平面ADB.

连接DG,则∠DGF=90°.

在Rt△DKG中,KG=AG-AK=DF-AK=1+x-t,

于是AD2-AK2=DG2-KG2,

【评注】本题主要考查矩形折叠成立体图形、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系、构建方程、建立目标函数等，有一定的难度.这里AB⊥BC，FC⊥BC不变,四边形ABCF，三角形ADF各边长不变，AD，BC，DC的位置有变化，线段DB，DC的长度有变化.