刍议基于数学建模的初中数学活动课程开发

林咏

[摘  要] 建模是一种方法，更是一种思想，在初中数学的教学过程中，教师要善于利用丰富多彩的课程活动开发促进学生的活动深入，促进学生的素养提升. 笔者结合综合实践活动的开展促进此项思想的进阶提升.

[关键词] 数学素养;数学建模;数学活动;活动课程;不定方程

初中数学综合实践活动课程是在一部分教学内容完成或一个阶段的学习之后安排的有一定开放性和实践性的活动课程. 通过活动课程的教学，可以发展学生对数学的实際运用能力，提高学生的数学素养，扩展学生的数学视野. 数学活动课的素材可以来源于课本，也可以由教师根据学生的实际情况及可以利用的资源自主开发. 在教学实践中，笔者尝试基于数学建模来开发活动课程，经过不断调整与改善，依据课堂观察及学生的调查反馈结果，得出该类型活动课程对激发学生的兴趣有一定作用. 下文以活动课程“简单的不定方程”为例，谈谈如何基于数学建模来开发数学活动课程.

人教版数学教材七年级下册第八章为“二元一次方程组”，本章以含有多个未知数的实际问题为背景，让学生经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组→得到实际问题的结果”的过程，体会用方程来刻画现实问题的数学模型. 本章内容涉及二元一次方程组及其解法、实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解法，重点是让学生熟练掌握二元一次方程组的解法，体会用方程解决实际问题的过程. 在“三元一次方程组的解法”中，笔者以古算书《张邱建算经》中给出的经典问题“百钱百鸡”引入教学，由于课堂时间及教学容量的限制，对该问题只是简单提及，并没有深入探究，从学生的眼光中笔者看到他们对该问题的兴趣及疑惑. 为了尽一切可能解决学生在学习上的疑惑，并且拓宽学生的数学视野，笔者尝试在本章最后安排一次题为“简单的不定方程（组）”的活动课.

素材来源：不定方程在课本中并未提及，因此笔者通过查阅文献及互联网搜索的方法，搜集简单的不定方程问题，同时也对现有的问题进行了改编，使其更贴近初中学生的生活[1].

教学目标：（1）了解不定方程的含义及形式，体会不定方程与生活的联系. （2）会用枚举法确定简单的不定方程解的个数. （3）熟练运用转化思想对不定方程进行变形.

教学重点：会分析实际问题中的数量关系，并会用不定方程表示这种关系.

教学难点：用枚举法确定不定方程解的个数.

教学预设：

（1）创设情境、引入问题：以经典数学问题“百钱百鸡”引入教学.

（2）小组合作、分析问题：教师引导、学生小组合作来探究问题的解决方法.

（3）揭示新知、解决问题：揭示“不定方程”的含义，用不定方程表示问题中的数量关系.

（4）联系生活、运用新知：列举生活中可以用不定方程解决的问题，并让学生自主解答.

（5）畅所欲言、交流收获：学生畅谈本节课的收获及对本节活动课的感悟.

活动一：创设情境，引入问题

百钱百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一. 凡百钱买鸡百只. 问鸡翁、母、雏各几何？”

师：百钱百鸡问题是历史上著名的经典数学问题，在古算书《张邱建算经》上有记载，你是否能用你的智慧解决这个问题呢？

设计意图  用古代经典问题引入教学，可以让学生感悟数学的发展，潜移默化地丰富数学文化知识，同时以该问题激发学生的学习兴趣.

活动二：小组合作，分析问题

（完成方式：学生小组合作，教师深入学生引导，然后小组代表交流展示）

生1：我们小组认为应该用三元一次方程组解决.

师：请具体说明.

生1：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别有x，y，z只，列方程x+y+z=100，

5x+3y+z=100.

师：这是三元一次方程组吗？

生1：是，但通常三元一次方程组包含三个方程，这里少了一个.

师：你观察得很仔细，那你们小组求解出来了吗？

生1：我们小组用了列举的方法，假设x=1，y=1，z=98，代入第二个式子检验;再假设x=2，y=1，z=97，再代入检验……

师：你们求出答案了吗？

生1：没有.

师：其他小组有没有能求解出答案的呢？

生2：我认为x，y，z都是正整数，并且z应该是3的倍数. 可以从第二个式子开始尝试，分别令z=3，6，9…

师：你们列举到结果了吗？

生2：暂时还没有.

生3：我觉得应该从z=99，96，93…开始列举，因为鸡雏的价格是最低的，而要买100只鸡，鸡雏的数量一定远超过鸡翁和鸡母的数量. 所以我们通过列举法得到了一组解：x=12，y=4，z=84.

师：你们小组真了不起，竟然算出了答案. 那这个答案是方程组唯一的答案吗？

学生迟疑.

生4：我以前见过这个问题，它有好几个答案，其中一个我记得是x=0，y=25，z=75.

师：看来你的知识面很广，而且记忆力也很好. 没错，这个方程组确实有多组解，古人解决这个问题花了好多年，而你们只用了几分钟就能求出其中一部分解，老师为你们的智慧点赞！

设计意图  创设情境是初中数学新授课常用的引入方法，通过情境可以让学生体会到数学与生活的联系，激发学生对本节课教学内容的兴趣. 数学活动课以学生的探究活动为主，因此教师要放手让学生自己想、自己学.

活动三：揭示新知，解决问题

师：上述方程组和我们在课本中学的方程组有什么不一样吗？

生1：我们学的方程组两个方程对应两个未知数，三个方程对应三个未知数，而这个方程组有三个未知数却只对应两个方程.

师：你归纳得很完整. 这个方程组未知数的个数和方程的个数不一致，因此它解的个数不确定，这样的方程叫作不定方程.

教师简要介绍不定方程的概念：不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数.

师：求解不定方程是不是只能通过逐一列举的方法呢？

题后总结：我们解决上述问题的办法最终依旧是枚举，但在此之前我们找到了未知数所满足的附加条件，将未知数的范围进行了缩小，这样枚举的次数就大大减少了，这就是解决不定方程的主要方法.

设计意图  本环节是揭示不定方程的概念及不定方程的解法环节，以教师引导学生的形式共同完成. 教师在讲授解法的过程中要重点关注学生的接受程度及反馈情况.

师：其实，在我们生活中处处存在着可以用不定方程（组）来解决的问题. 请你在下面三个问题中挑选一个，和你的同伴合作完成.

问题1：班级筹备元旦晚会活动，生活委员计划用200元去购买单价为22元的帽子和单价为17元的手套作为奖品在抽奖环节使用，你有没有办法正好将这200元用完？

问题2：在一次足球联赛中，某队经过20轮比赛共积48分，问该队胜了几场、负了几场、平了几场？（胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分）

问题3：某影院电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元正好买了30张电影票，请问票价为20元的比票价为10元的多了多少张？

（完成方式：小组合作交流，小组代表全班展示，教师深入学生指导）

设计意图  该环节是学生知识建构的主要环节，让学生自己经历数学建模的过程，体味数学与生活的关系，同时学会不定方程的解法. 小组合作则是充分发挥了“兵教兵”的优势，让更多的学生能参与到主动学习中去.

师：在今天的数学活动课中，你是否感受到了数学的魅力，对数学又有了新的认识呢？请你谈谈本节课的收获吧.

生1：我第一次听说“不定方程（组）”，觉得挺有意思的.

生2：今天学了不定方程（组）以后，我觉得我们之前学的方程（组）太简单了.

生3：我觉得数学是一门很有用的学科，能解决我们生活中的很多问题.

生4：我觉得数学的发展源远流长，古人也是充满智慧的.

设计意图  该环节是本节课的升华，让学生通过自己总结收获而达到知识内化的效果. 开放式问题的设置也是为了让学生在学习中有主动吐露心声的机会，教师借此机会倾听，可以掌握最真实的学情.

在这次活动课教学中，笔者感想颇多，最大的感触就是学生的智慧远远超过我们的想象. 在“运用新知”的环节多数小组在没有教师帮助的情况下便解决了问题，尤其是部分后进生，在本堂课中也表现积极、认真思考. 这让笔者堅信，在不影响常态课教学进度的前提下尽可能安排更多的综合实践活动课对教学是有促进作用的. 在此次活动课之后，笔者又设计了“随机模拟”“简单的线性规划”“几何上的距离问题”等数学活动课，实践后均达到了预期的效果.

在初中数学教学中，综合实践活动课是作为提高学生对数学的运用能力的课型提出来的，因此其教学内容可以在大纲之外. 数学建模是用数学来解决生活问题常用的方法，基于数学建模来设计数学活动课，对提高学生的数学能力、培养学生的数学素养都有着积极作用[2]. 当然，这不是设计数学活动课的唯一依据，在教学中，唯有根据学情与社会的需求多思考、多改进，才能设计出最适合学生发展的数学课，更好地服务于学生.

参考文献：

[1]梅琼. 小选择题看大建模[J]. 教学管理与教育研究， 2017， 2（18）：88-90.

[2]徐冬梅. 模型思想：一个具有丰富意义的数学概念——基于初中数学的思考[J]. 数学教学通讯， 2017（5）：49-50.