以“幂函数”教学为例，谈初中数学的教学思路

沈裕梅

[摘  要] 数学是一门严谨而富有理性的学科，教师在组织课堂时，一定要按照科学的思路展开分析和设计. 文章以“幂函数”的教学为例，探讨了初中数学教学的基本思路.

[关键词] 情境创设;数学教学;幂函数;教学设计

初中数学的教学应该循着怎样的思路进行，才能更好地服务于学生的探究和认知呢？笔者认为，我们在导入环节要善于创设情境，同时还要注意学生探究思路的引导，在学生进行探索和讨论时，我们务必要让学生真正发挥其主体地位. 下面，笔者就以“幂函数”的教学为例，探讨一下初中数学教学的基本设计思路.

教师创设问题情境：现有两组数，请比较它们的大小关系：（1）0.5-1.2和0.5-1.5;（2）log和log.

生：这两个都可以建立相应的函数模型，然后利用函数的单调性讨论数据的大小，第一组对应的函数模型为y=0.5x，可得结论0.5-1.5更大;第二组对应的函数模型为y=logx，可得结论log更大.

设计思路 以上内容主要为复习，并且让学生进一步熟悉运用函数性质来分析和研究问题的常规操作，这也为我们的新课教学奠定了基础.

师：现又有两组数，请试着比较它们的大小关系：（1）5.23-2和5.25-2;（2）（-0.72）3和（-0.75）3.

生：按照之前的思路，我们依然建立一些函数模型，第一个对应y=x-2，第二个对应y=x3，但是……

设计思路 这里学生的思维按照我们的预设在推进，既然其他在形式上类似的数据比较大小可以用到函数模型，那么在这里也可以用，但是建立起来的函数却不在已有的知識框架内，认知冲突由此产生，学生产生了继续探索的愿望，幂函数的基本概念呼之欲出.

师：以上所建立的函数属于怎样的函数类型呢？对于A=BC，如果B是一个常数，那么A是C的什么函数，C是A的什么函数？现有情形是C为一个常数，那么A是C的什么函数？

生：如果B是一个常数，则A是C的指数函数，C则是A的对数函数，至于后面的内容就不清楚了.

师：后面一类函数正是我们今天所要研究的内容——幂函数. 你能类比指数函数和对数函数的定义方式，来给幂函数下一个定义吗？

设计意图 给一个数学概念下定义是一项高难度的工作，但是我们在这里完全立足于学生的经验和基础，让他们从类比的方法着手实施操作，这完全在学生的能力范围以内. 这项操作兼具模仿性和创新性，对学生掌握数学知识和探索方法大有裨益.

生：形如y=xα的函数就是幂函数.

师：还有什么需要补充的吗？

生：α是一个常数.

师：我们在定义数学概念时，务必要做到严谨到位. （随后开始板书定义：一般地，形如y=xα（α∈R）的函数叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数 ）

例题  请确定以下函数的定义域和奇偶性：（1）y=x-2;（2）y=x3;（3）y=x-;（4）y=x.

学生分析并展开讨论，然后在交流和展示中给出答案.

设计意图 函数的定义域和奇偶性是研究函数性质的基本思路，学生对此都有相应的基础. 教学过程中，我们提出上述例题，就是帮助学生建立正确的探究方向，这也有助于学生在后续图像和性质的研究中简化过程.

师：前段时间，我们研究指数函数和对数函数的基本性质时，一般采用怎样的步骤？

生：先画出一些具体的函数图像，然后结合图像的观察和分析归纳性质.

设计思路 在初中数学的学习过程中，我们一方面要指导学生学习数学知识，另一方面也要启发学生对探究方法进行总结. 一般来说，知识是很容易遗忘的，但是方法却将长期地留存下来. 在上述设计中，我们引导学生回顾以往的研究方法，其实也有助于学生进一步了解函数知识的内涵.

师：很好，刚才你们给出了一个正确的研究思路，下面请大家自主选择几个幂函数，并利用图形计算器画出图像，研究性质.

随后，教师即可安排学生展开自主探索，并在时机成熟时，安排学生进行交流汇报. 考虑到学生对图形计算器的操作不一定娴熟，教师可以将基本步骤投影在前面，让学生有一个参考，当然其间也需要鼓励学生在相互协作中探讨具体的操作是否正确.

设计意图 教师通过及时的评价来对学生进行肯定，让学生能够以更加饱满的热情参与到下一阶段的学习过程之中. 学生的活动包括观察、猜想、推理、验证等操作，我们希望学生通过这一过程得到最为深刻的认识，同时也希望学生能够在体验过程中获得切实的提升.

学生以小组为单位进行探究，学生在探究过程中遇到了很多情况，教师要以平和的心态对待学生探索过程中出现的意外. 毕竟学生才刚刚接触幂函数，各种意外或失误都应该在情理之中，所以教师只能适当地引导和启发，绝不能代替学生进行研究.

师：很多小组已经完成了幂函数性质的探究，下面咱们就请各组的代表来汇报一下研究成果. （汇报过程往往是几个学生搭配操作，比如一个学生绘制图像，另外一个学生进行口头表述 ）

生1：我们组所选定的函数是y=x2，y=x，y=x3，这些函数存在以下性质：它们的图像都经过两个固定点（0，0）和（1，1）;它们在第一象限都属于增函数，其他象限各不一样，而且这些函数的图像没有出现在第四象限.

师：很好，其他小组有没有不一样的答案？

生2：刚才这一小组的同学所选定函数中的α都是正数，我们组还探索了取负数的情形，因此得到的结论有所不同.我们组所选定的函数包括y=x2，y=x，y=x3，y=x-1，y=x-2，这些函数存在以下性质：当α是正数时，基本性质和刚才他们的结论一致;但如果是负数，则函数图像不经过原点，它们经过点（1，1），且在第一象限为减函数.

师：你能解释一下，为什么α是负数时，函数图像没有经过原点吗？

生2：如果α是负数，则0不在函数的定义域内.

师：说得很好，有没有其他发现？

生2：没有了.

师：还有同学需要补充吗？

生3：我们组研究函数y=x的图像时，发现它正好是第一象限和第三象限的角平分线，而且在第一象限它的图像还将成为一个分界线，即α>1时，函数图像会向上;0<α<1时，函数图像会向右，但都属于增函数.

师：刚才几个同学的汇报都非常精彩，请大家对上述结论进行一下整合.

设计意图 在学生进行汇报和展示的过程中，教師要给予学生足够的时间来进行展示和交流. 在学生展示时，教师不能随意打断，同时教师还要鼓励其他小组的学生进行补充性的说明，最后要提供时间让学生对各项展示成果进行汇总，整理出较为完整的结论.

师：请同学来汇报一下你们的汇总结果.

生4：我们要先对α的取值情况进行分类，然后进行说明. 对于α>0时，函数的图像都会经过点（0，0）和（1，1）;在第一象限，函数图像都会随着x取值的增大而上升，即在[0，+∞）上属于增函数. 对于α<0时，函数的图像都会经过点（1，1）;在第一象限，函数图像都会随着x取值的增大而减小，即在（0，+∞）上属于减函数. 幂函数图像不会出现在第四象限，而且一般只研究第一象限的特点，对于其他象限，可以通过函数的奇偶性进行研究和分析.

师：其他同学觉得这个总结如何？请大家回忆一下，我们在指数函数以及对数函数等方面的研究，比较一下，这样研究是否全面？

学生展开比较和讨论，基本过程略去不提.

师：刚才我们分析了幂函数的性质，通过比较，我们发现幂函数性质的复杂程度远远超过了指数函数和对数函数，因此我们要找一些具有代表意义的函数进行研究，α取-2，-1，，1，2，3等等. 但是无论α取哪些数据，我们都要画出函数的大致图像，然后结合定义域、奇偶性来进行研究. 下面，我们结合一些具体的例题展开分析和研究.

随后的环节是教师展示了一些例题，引导学生在例题的分析和研究中熟悉概念、巩固认识.

设计意图 在汇报环节，教师相当于一个主持人，学生才是真正的主角，他们用自己的语言来展示自己对函数性质的理解. 当然，教师的串联作用不能忽视，只有恰当地引导，学生才能获得更加完善而严谨的结论.