高中数学“数列”教学中的核心素养培育元素思考

郭岚

[摘  要] 核心素养的培育途径，在于坚持知识建构的传统，并在其中发掘核心素养培育的元素. 数列作为重要知识点之一，在定义、项、一般形式、通项公式、分类的教学中，存在着丰富的核心素养培育元素，基于学生的学习过程发掘这些元素，可以让传统教学与核心素养培育有效对接，从而实现核心素养培育的目标.

[关键词] 高中数学;数列;核心素养;培育元素

核心素养下的高中数学课堂，面临的一个基本问题是：核心素养如何与知识教学更好地衔接起来？这个问题具有现实性，因为无论什么样的教学背景，都无法改变数学教学需要让学生建构数学知识及其体系的基本任务，任何其他任务包括核心素养培育在内，都需要依附在这个基本任务之上. 很显然，教师具有核心素养培育意识，真正在知识建构的过程中发掘出核心素养培育的元素，就显得十分重要. 所谓核心素养培育元素，其实就是在传统教学的基础上，寻找核心素养培育可能的机会、载体等，下面以“数列”这一知识的教学为例，来进行详细的说明.

[?]核心素养培育元素的发掘必要性

可以肯定的是，核心素养的培育，不是在原有教学习惯上的简单嫁接，更不是在原有教学的某些环节上贴上核心素养的标签. 高中数学学科核心素养由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个要素组成，固然在传统的教学中客观上也存在这些过程，但如果说仅仅是在原有基础上贴标签，那核心素养的培育肯定会失之于空、失之于假. 而在传统教学的基础上，发掘并发现核心素养培育的元素存在，并基于学生的认知规律与核心素养培育需要进行教学设计与实施的优化，才是衔接传统教学与核心素养培育需要的根本途径. 因此，核心素养培育元素的发掘是必要的.

而从数学学科核心素养培育的角度来看，数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个要素往往也不是独立存在的，不是说教学中的某个过程是在进行数学抽象，另一个过程是在逻辑推理，更多时候，这些要素是共同存在、互相交织的，这就意味着教师的教学实施需要根据实际情形来进行，而不是肢解学生的学习过程. 因此核心素养的培育，应当是一个从学生的学习过程走向核心素养培育的过程，而不是从教师的核心素养培育需要去肢解学生的学习过程. 但核心素养培育又是一个新生事物，教师不可能只期待核心素养的自然生成，而应当将核心素养的培育作为教学研究的一个出发点与落脚点，并思考学生的学习过程中存在着的更多的核心素养培育的机会，因此从这个角度讲，挖掘核心素养培育元素也是必要的.

因此我们认为，挖掘实际教学中的核心素养培育元素，实际上是将核心素养培育的“理论可能性”转化为“实践可能性”的重要举措. 数列是高中数学知识体系中的重要知识点之一，当学生的研究对象从单个的“数”变成“数列”时，需要的是思路上的转变，需要的是观念的建构. 由于数列本身就是一个抽象的概念，而学生建立这个概念又不大可能完全基于数的关系去进行，因此必要的数学抽象过程是必须呈现给学生的;数列本身的规律以及数列的一般形式的书写，显然是逻辑推理的产物;数列本身就是描述事物规律与关系的载体，其是可以作为数学模型存在的. 至于直观想象、数学运算与数据分析，实际上镶嵌在数学抽象、逻辑推理与数学建模的过程中，限于篇幅，这里不一一赘述.

[?]“数列”教学中核心素养元素发掘例析

沿袭数学教学的传统，笔者以为数列这一知识的教学中，教师需要关注这样的几个基本问题：一是数列的定义;二是数列的“项”;三是数列的一般形式;四是数列的通项公式;五是数列的分类. 其中，数列的一般形式、通项公式以及分类是教学的重点. 从知识建构的角度来看，教师的教学重心显然会直接放在这三个方面，并通过具体的实例来让学生理解何为一般形式，何为通项公式，如何分类. 而从核心素养培育元素的发掘角度来看，笔者则以为要进行如下几点思考：

其一，数学抽象、直观想象应当存在于数列的定义以及一般形式的教学中. 数列定义的前提是学生对数列有所感知，因此教师要提供感知对象，例如教师可以给学生提供一个数轴，然后让学生去发现数轴上的数与数之间存在的“一定次序”，那学生很容易发现整数、奇数、偶数、三倍数……等，将它们逐个提取出来（可以借助于现代教学手段直观显现），那就可以得到一个个数列;教师还可以给学生提供三角形数（1，3，6，10…）或正方形数（1，4，9，16…）等. 在这样的直观感知的基础上，让学生进一步进行直观想象，那就可以完成一个从直观想象对象到数列定义的抽象过程，其后在用数学语言描述数列的时候，学生对“按一定次序排列的一列数叫做数列”等表述就容易理解了.

其二，数列的项与一般形式、通项公式的教学中存在着丰富的逻辑推理、數学运算等核心素养元素. 数列的项的表达形式通常是an，其表示的是某数列中的第n项，由于n可以在一定范围内任意取值，因此具有一般意义，这是一个简单的逻辑推理，教学中不要刻意强调，学生自然能够理解并接受;而数列的{an}的表示方式则具有一定的挑战性，因为作为数列的一般形式的简写形式，其表示的是数列及项的定义，其与数在数列中所处的序号有没有关系，数列中的项是否可以重复等，这些学生容易产生的问题，往往都需要通过逻辑推理或数学运算来加以解决. 至于数列的通项公式，是最需要进行逻辑推理的，譬如给出数列1，0，1，0…，其通项公式可能是什么呢？初学者可能要通过试错的方式进行，而最终得到诸如an=或an=

cosπ

时，学生已经经历了多遍逻辑推理的过程，逻辑推理的能力自然得到了培养.

其三，数列的分类本质上是学生对数列这一模型深度加工的产物. 数列的分类在数列这一知识的教学中至关重要，其具有承上启下的作用，学生后面对具体数列的研究与分析，都是建立在对数列准确分类的基础之上的. 同时应当注意到，数列的分类是以对数列本身的准确认识为基础的，开始对数列进行分类，意味着就是对原有数列模型的深度耕耘. 由于这是学生已有的学习经验，学生自然知道分类标准不同，分类的结果就不同，那在数列的分类中，可以怎样分类呢？这仍然需要逻辑推理，需要直观想象，比如常数数列、有穷数列与无穷数列往往就是直观想象能力运用的结果，而对于一些稍微复杂一些、凭着直观想象难以获得结果的数列，则需要进行逻辑推理，如递增、递减数列等.

挖掘到上述元素，在实际教学中就可以基于这些元素进行重点教学. 如在写数列的通项公式的时候，教师提供的数列可以具有一定的多样性，如笔者给学生提供的有：3，5，9，17，33，…;，，，，…;2，-6，12，-20，30，-42，…等，这些数列的通项公式的得出，需要学生先进行直观想象，然后通过逻辑推理来验证自己的想象结果是否正确，如果正确则完成下一题，如果错误则需要重新进行一次循环，直到得出正确结果. 实践表明，当学生在学习过程中能够顺利地写出一个数列的通项公式时，往往具有一种类似于高难度的证明题获得证明一样的高峰体验，这种体验可以强化学生对数学学习的兴趣，从而提升其对数学课程的理解，显然这也是数学学科核心素养的一部分.

而在数列的相关变式训练中，也可以寻找到数学学科核心素养培育的元素，如告诉学生某数列的第一项值为2，且an+1=2an，要学生写出该数列的前5项并写出an. 这就是数列知识的变式训练的常见方式，其需要学生在已经掌握的数列知识上进行反向推理与运用，丰富的逻辑推理过程可以保证学生的逻辑推理能力进一步养成，而对问题的解决（包括数学运算与数据分析）又会丰富学生对数列模型的理解. 同时，这也是数学学科核心素养培育元素共同存在于一个学习过程的典型例证.

[?]核心素养培育元素的发掘注意点

在数列这一知识的教学中，核心素养培育自然成为数列知识建构与理解之外的另一个教学重点，作为一个相对新兴的事物，教师在数学学科核心素养培育元素的发掘过程中，笔者以为还是有一些注意点的，简述两点：

第一，防止知识建构与核心素养培育过程中的本末倒置现象. 近二十年的课程改革带给我们的最大教训就是对传统的无端颠覆，其中尤以数学学科教学为甚. 课程改革之所以受到深度反思，数学学科教学中出现的问题不可忽视，其中的典型问题之一，就是为了追求所谓的“新”而忽视了数学学科的基本規律. 数学教学，肯定是要以数学知识建构为基础的，忽视了这个基础，任何三维目标的达成，任何核心素养的培育，都是空话.

第二，核心素养培育应当是依附于知识教学的. 如上一点，当强调了知识建构的基础之后，寻找其中存在着的核心素养培育元素，并将这些元素转化为教学中的有机组成部分，可以让学生在建构知识的同时，领略到数学学科自身的特质，从而强化其对数学课程的理解.

总之，高中数列这一知识的教学中，核心素养培育元素是存在的，实践中是需要悉心发掘并与知识建构这一传统对接的，对接成功，核心素养的培育就成为现实了.