《微积分》如何计算圆周率π的近似值

录岭法 张利齐

摘要：圆周率π可以说是在数学中最为常见的一个无理数，在计算圆周长、圆面积、球体积以及很多相关图形（比如扇形、椭圆和椭球等）计算中起到了关键作用。它最早被定义为圆周长与直径的比值。而如何计算圆周率π也引起了古今中外众多数学家们的关注。利用“割圆术”，我国古代著名数学家祖冲之得到了两个圆周率的近似值，分别为约率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比欧洲早了1000年。然而，由于“割圆术”方法的局限性，改进已有结果的难度变得越来越大。在本文中，我们主要介绍在微积分中利用无穷级数计算圆周率π的一些公式。利用计算机编程，人们甚至可以将圆周率计算到小数点后10万亿位。

关键词：圆周率;割圆术;微积分;无穷级数

中图分类号：G642.4     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）20-0211-02

一、简介

在常见的一些图形中，全部由直线构成的一些图形（比如三角形、矩形、梯形、长方体等等）的长度、面积和体积都是比较容易计算的，直接就可以通过“切割”成一些规则图形来计算。例如，一个长方形可以通过切割获得两个直角三角形从而有了直角三角形的面积公式，进一步一个三角形也可以被切割成两个直角三角形，从而三角形的面积公式也很容易被得到。用类似的方法还可以获得梯形和平行四边形等图形的面积公式。然而，一些由曲线围成的图形（比如圆形、扇形、椭圆、圆球、椭球等等）的长度、面积和体积都是无法通过传统的“切割”方法来计算它们的精确值的。然而，一些数学家通过观察发现，圆的周长和它的直径的比值是固定的。因此，它们把这个数字称为圆周率，通常记为π。虽然我们无法通过“切割”方法来计算π的精确值，然而却可以通过这种方法获得π的一些近似值。例如，我们南北朝时期的著名数学家祖冲之，就通过“割圆法”把圆切割成正多边形，从而得出圆周率π介于3.1415926到3.1415927之间。除此之外，他还得到了兩个圆周率的近似值，分别为约率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比欧洲早了1000年。但是，由于“割圆法”的一些局限性，改进已有结果的难度变得越来越大。如何使用其他的方法来计算圆周率π在过去吸引了很多数学家们的关注。大量的方法和计算公式层出不穷。这也促进了“微积分”这门学科的发展。因此，在这篇论文中，我们主要介绍一下如何使用微积分中的知识来计算圆周率π。

二、利用瓦里斯公式计算圆周率π

四、总结

通过上述（*1）到（*5）中的每一个公式，然后再利用计算机编程，我们都可以计算出圆周率π的近似值。相比较而言，（*2），（*4）和（*5）是最方便记忆的，其中（*2）应该是最为好用的。目前，人们利用计算机编程，已经能计算到小数点后10万亿位。然而，实际中我们并不需要这么精确。不过，这也充分证明计算圆周率π已经吸引了众多数学家们的关注。

参考文献：

[1]官飞.圆周率的一个近似计算公式[J].高等数学研究，2012，15（3）.

[2]韩雪涛.古今中外计算圆周率π的方法[J].语数外学习：高中版上旬，2017，（03）.