紧扣“关系”视角，生成“倍”的概念

朱莹莹

摘  要：在小学数学教学中，概念教学是重点内容之一。“倍”的概念揭示了两个数量之间的比较关系。对于三年级的小学生来说，正确建立“倍”的概念是存在一定的难度的。基于此背景，文章对“倍的认识”一课的教学进行了探究。通过两次教学的对比，证明“倍的认识”一课的教学仅仅基于“运算”视角是不够的，紧扣“关系”视角引导学生生成“倍”的概念才能达到事半功倍的教学效果。

关键词：数学概念;“倍的认识”;课例研究

在小学数学概念体系中，“倍”的概念揭示的两个数量之间的比较关系，其教学的关键在于引导学生深入体会这种数量比较关系，并且能够准确地把握比较标准，从而实现更深层面的理解。那么，应当怎样选择有效的素材，怎样沿着既定的序列呈现，才能使学生更深入地体会其间的关系以及标准呢？带着这个问题，笔者对人教版小学数学三年级上册“倍的认识”一课的教学进行了探究。

第一次教学尝试：基于“运算”视角，对接“倍”的概念

针对“倍”的教学，其前提在于学生对乘法意义“几个几”的理解，将几倍与“几个几”之间形成关联。基于这一认识，笔者进行了第一次教学设计与尝试。

第一环节：基于原有认知，引入“倍的概念”。

（在黑板上分别贴出2个白萝卜与2个红萝卜的图片。）

师：白萝卜和红萝卜在数量上存在着怎样的关系？

生：白萝卜和红萝卜的数量相等。

（然后在黑板上贴出两个红萝卜的图片。）

师：此时白萝卜和红萝卜之间的数量关系又是什么？

生1：红萝卜比白萝卜多2个。

生2：白萝卜比红萝卜少2个。

生3：红萝卜应该是白萝卜的2倍。

（上述教学环节中，基于学生的原有认知开展教学，要求学生辨析二者之间的关系，通过对比两个数量的多少作为导入环节，由学生在自主探讨的过程中引出数量上的两倍关系。）

第二环节：引导动手操作，建立“倍数关系”。

师：首先将白萝卜和红萝卜分一分、摆一摆，你如何确定它们之间是两倍关系？

生1：因为白萝卜是2个，红萝卜有两个2个，说明红萝卜是白萝卜的2倍。

师：回答很准确，以2个白萝卜作为标准，并以此作为一份，那么红萝卜的数量可看成2份，说明红萝卜的数量是白萝卜的2倍。

（上述教学环节中，为了帮助学生对“倍”的意义形成更深层面的理解，结合了一系列动手操作活动，使学生能够将乘法意义中的“几个几”与“几倍”之间建立关联，这样学生在通过自主探究之后就能顺势得出正确的结论，再看到“倍”时，就会自主联想到乘法。）

第三环节：引导变式比较，深化“倍的理解”。

在黑板上贴出6个黄萝卜图片，并提问：黄萝卜和白萝卜在数量上呈现怎样的关系？可以先动手摆一摆，并说出你的见解。

（学生结合动手操作实践展开思考。）

师：白萝卜都是2个，为什么红萝卜是白萝卜的2倍，但是黄萝卜却是它的3倍呢？

生：先将2个白萝卜看作一份，因为黄萝卜的数量是3个1份，所以就是它的3倍。

师：如果现在拿走2个红萝卜，则剩下2个红萝卜，此时红萝卜和白萝卜在数量上呈现怎样的关系？说一说你的想法。

生1：红萝卜是白萝卜的1倍。

生2：我认为应该是0倍。

师：那么究竟是1倍还是0倍呢？谁能来说一说。

生3：我们首先将2个白萝卜认定为一份，而红萝卜是2个，所以当然也是一份，由此说明红萝卜是白萝卜的1倍。

第一次教学分析：仅仅基于“运算”视角，不能触及“倍”的本质

完成这一次教学之后，笔者以为学生已经成功地掌握了“倍”的概念，然而在实际解题时，却发现很多学生出现了不同的错误。如，让学生说一说“谁是谁的几倍”，或者说明“谁是标准”，很多学生都不能做出准确的表达;而且当学生看到“倍”时，大都只会联想到乘法运算。基于上述错误，可以发现学生在脑海中所形成的“倍”的印象，仅是一种运算方式。很显然，这是一种误解，可是为什么会出现这一误解呢？因为在具体的教学过程中，学生针对“倍”的理解仅局限于概念的表象——运算，并未触及概念的本质，也就是“倍”的关系。由此，笔者对教学活动进行重新设计，进一步明确教学重点，引导学生深入透彻地理解倍数关系，把握概念本质。

虽然学生已经能够说出谁是谁的几倍，也能充分利用乘法展开有效计算，但却不能表明学生针对“倍”有了更深层面的准确认知。在实际运用的过程中，学生仍会出现各种各样的困难和问题。导致这些问题出现的关键原因在于：首先，学生受制于现有的认知结构以及认知水平，从加法过渡到乘法时，学生的认知结构必须要发生相应的改变。针对“倍”的学习，就是促使其认知结构发生改变的一个关键契机，可见，基于认知结构层面的转变才是学习过程中最突出的困难;其次，知识点自身存在难度，对于“倍”而言，其并非是单一性的乘法结构，而应当将其认为是乘法意义的进一步拓展和延伸，同时其中还涉及针对除法意义的理解，这必然会对学生的理解形成一定的阻碍。

于是，笔者对自己的第一次教学录像进行了翻看，从中发现这次教学主要存在以下三个问题。

1. 学生不能深刻理解“倍数关系”

“关系”在生活中经常会用到，听起来非常简单，但是立足于数学背景下针对“关系”一词的理解，却对学生形成了阻碍。课堂上，很多学生在听到与“关系”相关的问题时，常常茫然不知所措。

2. 学生没有深刻建构“倍的概念”

在练习环节，笔者在黑板上画出6个红圈以及3個白圈时，很多学生都会回答6比3多或者3比6少，却不会联想到6里面有2个3，更不可能想到6是3的两倍。可见，对于儿童的认知来说，从加法过渡至乘法并非易事。那么，怎样才能实现顺利有效的过渡呢？动手操作是一个极具可行性的有力举措。在课堂教学之前，教师可以要求学生自主准备能够摆动的学具，如圆纸片或者小木棒等，这样学生在自主摆一摆的过程中就会自然联想到分堆的方法，如把3张圆纸片分成一堆，6张圆纸片分成两堆等，进而就能够顺势提出所谓的“一堆”实际上就是“一份”，也可以称其为一倍量。通过这种教学方式，学生能够更自然地联想到6里面有2个3，进而在脑海中初步建构“倍”的概念。

可见，针对“倍”的认知需要经历一个过程，也需要教师放缓脚步，当学生能够初步建构“倍”的概念之后，再带领他们动手圈一圈、摆一摆。只有经历这样的过程，才能使学生对“倍”形成更深刻的认知。

3. 学生难以进行“倍”的表达

虽然有一部分学生能够明确说出谁是谁的几倍，还可以借助乘法展开有效的计算，但他们在表达时却存在一定的阻碍。针对“倍”的教学，不仅要求学生能够深入透彻地理解“倍”的含义，而且要能做出准确的表达。在进行表达的过程中，不必急于要求学生立刻给出标准的表达形式，而是静静地等待学生完善自主表达。结合学生的年龄特点可以发现，他们对知识的理解能力远远超过表达能力，表达不清晰很正常，所以在学生表达的过程中，可以结合画图等多元的方式，引导学生立足于多个角度展开正确表达，一方面是为了训练其表达能力，另一方面也有助于深化对“倍”的理解。

第二次教学改进：紧扣“关系”视角，生成“倍”的概念

学生对“倍”这一概念的认知源于生活经验中的“一样多”，于是笔者立足于学生已有的经验，并以此为基础将“一样多”成功地改造为“倍”这一数学概念，引导学生就此建构正确的概念。

第一环节：基于原有经验，激活“关系”认知。

首先在黑板上板书“一样多”，并向学生提问：大家看一看黑板上这三个字，究竟是怎样的含义？

生1：用来比较数量，谁和谁比多少。

师：接下来我们要玩一个拍手游戏，我先拍手，大家跟着我拍，但是拍的次数一定要一样多。

（教师拍了三下，学生也紧跟着拍了三下。）

师：为什么你们拍的也是三下？

生2：因为游戏的标准就是要和老师拍的一样多，所以老师拍的数量就是标准。

师：那么我们接下来画一画，我画的是正方形，你们要画三角形，要求画的一样多。

①□——△

②□□□——△△△

师：你们为什么要这样画呢？

生3：因为要和老师画的一样多，老师画的数量是标准。

（在这个环节中，根据学生已经具备的生活经验，选择“一样多”作为教学起点，结合拍手、画图等方式，对“一样多”这一原有生活经验进行了两个层次的不同改造：其一，就是跟着老师拍手，充分体会“一样多”的概念;其二，要求学生“以老师为标准”，体会“标准”的含义，并将其改造为数学层面的“以谁为准”。）

第二环节：紧扣“关系”本质，迁移“倍的概念”。

师：接下来我们仍然玩拍手的游戏，我拍三下，你们要拍两个一样多，这该怎么拍？大家要开动小脑筋啊！

（有的学生一连拍了6下，而有的学生是先拍3下，再拍3下。）

师：哪些同学拍得更好些？为什么？

生1：先拍3下之后，确认一下是否一样多，然后再拍3下，这样就能够清晰地展现两个一样多。

师：接下来大家尝试画一画“两个一样多”。

生2：○○○→□□□ □□□。

师：为什么会选择这样的方式来画呢？

生2：因为首先要确定一个“一样多”，然后以此为标准，两个“一样多”就要重复两次，所以在画图的过程中必须把每一个“一样多”分开。

（在这个教学环节中，紧扣“关系”这一本质，引导学生进行拍手、画图等数学操作活动，这样学生在这个过程中就基于“几个一样多”这一原有认知迁移出“倍的概念”，从而在头脑中形成“倍的概念”的表征。）

第三环节：改造生活经验，建立“倍的概念”。

概念的形成不可能一蹴而就，需要立足于学生的生活经验，于是笔者组织了一次教学活动，要求学生“换个说法”。

师：现在我说“谁和谁一样多”时，你们要回答“谁是谁的一倍”。

师：☆和□一样多。

学生共同回答：☆是□的一倍。

师：☆是□的两个“一样多”。

生：☆是□的2倍。

师：大家可以想一想我们的现实生活，再说一说谁是谁的几倍。

（以上教学环节中，在完成了对生活经验的改造之后，学生必然能够意识到所谓“一样多”实际上就是一倍，而两个“一样多”代表的就是两倍，同时还能够在这一过程中更自然地体会到“标准”以及“关系”的意义，成功地建构“倍”的概念。）

基于两次教学实践，笔者深刻意识到针对“倍”这一概念的教学，如果立足于学生的已有经验，他们学的过程会更轻松，理解也更深刻。为什么会发生这样的状况？因为在教学过程中，“倍”这一概念的架构是基于生活经验中的“一样多”的，对于学生来说，在生活中积累了丰富的“一样多”的经验，而当教师将其改造为数学概念之后，这些经验的积累便会让学生易于理解数学概念，甚至帮助学生更准确地体会并把握“关系”以及“标准”。实际上在对“一样多”这一经验进行改造时，只是将其换成了“倍”的说法，教师不需要耗费更多的精力，只需要结合简单的操作活动，学生自然就能体会。这样的学习活动，讓教师教得轻松，也让学生学得非常轻松，其间还充满着愉悦和谐的氛围，广受学生的欢迎。

可见，在教学过程中，很多数学概念的教学都能够立足于生活中与此相对应的原型，因为学生在生活中已经具备了相应的经历和体验，能够对数学概念所涉及的外延及内涵形成更深层面的理解。在理解“倍”的过程中，正因为学生已经掌握了原型，作为教师，只需要准确把握学生的生活经验并对其进行相应的改造即可。教师在教学数学概念时，只有了解了概念在生活中是否具备相应的原型，并准确把握概念的核心问题，才能够使学生的学习更高效、更便捷。