注重几何直观，着眼能力提升——中考“旋转伴随相似模型”专题复习例谈

☉浙江省衢州市衢江区廿里镇初级中学 徐建兵

中考复习课教学是学生核心素养和能力提升的过程，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，可以把复杂的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.旋转是一种基本的图形变换，若将三角形绕着一个顶点旋转，再放大（或缩小）得到新的三角形，连接对应点后会伴随第二次相似的出现，这两个相似以过旋转中心点的四条线段成比例为纽带，这一伴随关系，在很多时候能使复杂问题简明化.笔者就针对此类基于旋转的三角形相似模型进行教学实践，让学生在感知、应用和构造“旋转伴随相似模型”中培养几何直观素养,提升解题能力．

一、呈现模型，知其性明其理

例1如图1，在△ABD与△CBE中，已知∠ABD=∠CBE，要使△ABD与△CBE相似，还需要添加什么条件？当△ABD △CBE时，连接对应点AC和DE，还有没有其他三角形相似呢？若有，请写出对应边的比例式.

图1

二、应用模型，晓其法通其性

例2 如图2，△ABC与△EDC均为正三角形，B、A、D三点在一直线上，连接AE，可得到AE//BC的结论.如图3，在△ABC与△EDC中，AB=AC，DE=CE，∠B=∠ECD，上面的结论是否还成立？若成立，请说明理由.

图2

图3

解析:如图3,通过观察发现，△EDC可由△ABC绕点C旋转后放大得到，因此伴随着会出现△DBC△EAC，所以∠B=∠EAC.因为∠B=∠ACB，所以∠EAC=∠ACB，所以AE//BC.

点评:在复杂的图形中发现基本模型需要学生具有一定的几何直观素养,需要有敏锐的观察能力.如图2,△ACB和△EDC中,具有AC=BC,DC=EC的特殊性，因此伴生出△DBC和△EAC既相似又全等.这与八年级全等章节中出现的“手拉手的全等模型”相一致，体现全等是相似的特殊形式，这样有利于形成知识之间的相互联系,使知识更加系统化.此外，本题的教学设计中，笔者还把另一个重点放在学生如何寻找二次相似的方法指导上，第一步找显性的三角形相似，第二步找出第一次相似的对应点，第三步连接对应点构成新的一对相似三角形，通过方法指导让学生知晓它的用法，精通它的性质，提升学生的几何直观素养.

三、构造模型，培养创造性思维

例3如图4，正△ABC与正△DEF的边AB、DE的中点重合于点O，△DEF绕点O旋转一定角度，连接AD、CF，当AD=1时，求CF的长度.

图4

图5

解析：如图5，连接OC、OF.Rt△AOC可由Rt△DOF绕点O旋转后放大得到，因此伴随着会出现△AOD和△COF，

例4如图6，正方形AEFG是正方形ABCD绕其顶点A旋转一定角度缩小后的图形，连接DG和CF，求线段DG与CF的比值.

图6

图7

点评：《标准》指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.从例3的图形中看不出“旋转伴随相似”的模型，它是由两个正三角形绕着一条边的中点旋转，这就需要学生有创造性的思维，通过添加辅助线，构造出“旋转伴随相似模型”，当连接OC、OF时，会出现Rt△AOC由Rt△DOF绕点O旋转后放大得到，因此伴随着会出现△AOD △COF.把毫无关联的线段AD、CF联系在相似三角形的对应边上.例4是正方形旋转.当对应点连接时会出现△ADG △ACF.DG和CF并不在需要的相似三角形中，这就需要连接对角线AC和AF，构造出Rt△ACD由Rt△AFG绕点O旋转后放大得到，伴随着会出现△AGD △AFC，从而解决问题.在我们的教材中，很多四边形相关内容都是利用三角形知识来解决，体现了数学中的化归思想，这种数学思想的渗透有利于学生形成自主学习的能力.课堂中通过体会如何构造模型培养学生的几何直观与创造性思维.

四、拓展模型，经验积累中提升素养

例5如图8，已知A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，点A不变，点B随之运动，则点P从点O运动到点N时，求B点运动的路径长.

图8

图9

点评：本题源于2013年浙江省湖州市初中毕业学业考试填空题的压轴题第16题，本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大，需要学生具有较好的几何直观素养，能从问题中找到“旋转伴随相似模型”的影子，利用相似关系求出点B运动路径的长度，运用“旋转伴随相似模型”可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系复杂运算之中.类似的应用还出现在2017年浙江省衢州市初中毕业学业考试第24题的第（2）问中：“在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC.连接OB，点D为OB的中点.点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒.如图10，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值.”将△DEE′绕点D旋转，再扩大（或缩小）得△DFF′，在这个变化过程中，伴随着第二次相似，即当E在AB边上运动时，都有△DEF △DE′F′，得到∠DE′F′=∠DEF是个定值，所以tan∠DE′F′=ﾝ.因此学生对这种模型的经验积累，有利于提升学生的几何直观素养和解题能力.

图10

学习需要天分，学习也需要积累，“旋转伴随相似模型”是一种图形特性的经验积累.《标准》指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标.数学活动经验需要学生在不断经历、体验各种数学活动中，在“做”与“思”的过程中进行积淀，因此学习除了善学善思，还应做到善于总结经验.