用类比引导学生自然、合理地思考——以人教版八年级下册“19.2.2一次函数（第1课时）”教学设计为例

☉湖北省武汉市光谷第三初级中学 李景财

☉湖北省武汉市光谷实验中学 周泽军

笔者以2017年全国初中数学青年教师优质课评比中的一节课人教版八年级下册“19.2.2一次函数（第1课时）”的教学设计为例，谈谈“用类比引导学生自然、合理地思考”这个话题.本课是一节概念课，类比思想贯穿课堂始终.回顾正比例函数的研究内容，类比推测一次函数的学习内容；温习正比例函数的定义及形成过程，类比预设、生成一次函数的学习步骤及定义；在反思提升环节，通过揭示类比思想，让学生整体感受本课的学习方式；在课外延伸环节，引导学生用类比的思想探究下节课的学习内容，延伸课外学习.

一、教学过程设计及说明

1.创设情境，感受学习函数的必要性

环节1：情境导学.

问题1：观看视频——乌鸦喝水.

思考：假设故事中的瓶子为圆柱形，每个石子的体积相同，瓶子里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，那么放x粒石子后，水瓶里的水深ycm怎样表示呢？

设计意图：乌鸦喝水的视频激发了学生的学习兴趣与求知欲，营造了轻松的学习氛围，同时感知数学源于实际生活，初步体会了建立函数模型的思想，感受到学习新知的必要性，引出课题.

2.回顾相关知识，类比推测学习内容

问题2：大家回忆一下正比例函数，你能总结出正比例函数研究了哪几个方面的内容吗？

生：正比例函数的定义、正比例函数的图像、正比例函数的增减性、正比例函数的应用.

问题3：类比正比例函数的学习内容，你能推测一下一次函数要研究哪些内容吗？

生：一次函数的定义、一次函数的图像、一次函数的增减性、一次函数的应用.

设计意图：通过回顾正比例函数研究的内容、线索，类比得出一次函数研究的内容、线索，让学生对本节有一个整体的认识，使学生了解函数研究的基本内容、思路与方法，积累了函数学习的经验，增强学习的预见性与主动性.

3.温习定义步骤，提炼定义方式

问题4：正比例函数的概念是如何形成的呢？

师：请同学们看课本第86页的思考至第87页练习以上的部分，归纳正比例函数的概念是如何形成的.

生：从课本上我们不难看出，正比例函数定义的形成历经了下面三步：实际问题→抽取出解析式→从解析式的形式特征上定义.

设计意图：通过复习课本，提炼出正比例函数定义的形成需要经历的三个步骤，为探究一次函数的定义提供了方法，积累了经验.

评析：以上情境导学环节，通过观看视频使学生感受函数学习的必要，激发了学生的学习欲望；通过问题1～4，让学生回顾了正比例函数学习的知识结构，温习了正比例函数定义形成的方法，类比得出本节课的学习内容和方法，从而树立了学习的信心，为自主学习、探究学习做好了心理准备.

4.迁移定义方式，类比生成新概念

环节2：活动研学.

活动1：感悟概念.

问题5：下列问题中，两变量间是函数关系吗？若是，请写出函数关系式.

①有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差；

②一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值；

③某城市市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）；

④某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y℃，试写出y与x之间的关系式.

活动2：形成概念.

问题6：请大家类比正比例函数概念的形成过程，思考该怎样学习一次函数的概念.

问题7：观察以上出现的函数解析式，通过类比正比例函数y=kx（k≠0）的定义方式，你能写出一次函数的一般表达式吗？

问题8：关注一次函数的一般表达式的特征，你能提出哪些问题？

生问1：从自变量的次数来看有何特征？

生答1：自变量x的次数都是1.

生问2：从解析式右边的书写形式与项数来看有何特征？

生答2：解析式右边都是关于自变量x的一次二项式.

生问3：等式右边的kx与b分别是什么项？

生答3：kx是一次项，k是一次项系数，b是常数项．

生问4：y是关于自变量x的几次函数？

生答4：y是关于自变量x的一次函数．

生问5：解析式中的字母k、b有什么限定吗？

生答5：k为常数，k≠0，k、b为常数.

生问6：能类比正比例函数的概念，归纳出一次函数的概念吗？

生答6：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．（师板书）

设计意图：通过一组实际问题，写出了几个函数解析式；通过问题6～7，组织学生自问自答，搭建基于学生经验的自主学习，引导学生观察、归纳、比较各式的特征，发现一类不同于正比例函数的函数，培养提出问题、分析问题的能力，训练数学建模与数学抽象思维能力；通过形式类比，让学生在对比、分析、思考、迁移过程中，经历一次函数概念的构建过程.

评析：在初中数学教学中，学生对于概念本质的理解是学习的一个难点，采用类比教学是化解该难点的一种有效途径与方法.本课对概念的定义形式采用类比的方法，先从形式上类比构建一次函数的定义式，再通过生生的互问互答，破解对概念的疑问，加深对概念的理解.

5.类比相近知识，厘清知识关系

活动3：理解概念.

问题9：对比y=kx+b（k≠0）与y=kx（k≠0），回答下列问题：

①一次函数y=kx+b（k≠0）中的b可以为0吗？当b=0时，y=kx+b（k≠0）变成了什么函数？

②一次函数与正比例函数有何关系？

③请在（1）和（2）两个区域内填上一次函数与正比例函数.

设计意图：让学生对比两种函数概念，引发学生的思维冲突，自主寻找得出一次函数与正比例函数的关系.

图2

6.类比设计变量，突破教学难点

环节3：检测评学.

活动4：应用概念.

我活用——故事的延续……

问题10：在前面乌鸦喝水的故事中，假设瓶子为圆柱形，每粒石子的体积相同，瓶里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，瓶高10cm，乌鸦嘴长2cm，投入的石子的粒数为a，请分组写出下列变量关于a的关系式.

①水面的高度x；②水面上升的高度y；③水面与瓶口的距离Z.

活动要求：①小组合作讨论；②第1～3组写x与a的关系式，第4～6组与y与a的关系式，第7～8组写Z与a的关系式.

问题11：在上面出现的几种情况中，每种情况最少投入多少粒石子，乌鸦正好可以喝到水？

追问1：借助三个函数关系式求得的同体积石子的粒数一样吗？

追问2：通过一致的结果我们可以得到什么启示呢？

设计意图：问题10采用了思维方式的类比，设不同的函数，列出三个不同的一次函数，使“运用一次函数解决实际问题”的难点得以突破；通过追问“至少投入多少粒石子，乌鸦正好可以喝到水”，把函数与方程联系起来，让学生感知函数中的变量与方程中的未知数是可以互相转化的；通过不同的解析式，发现求得的结果相同，让学生认识到一次函数是刻画现实世界变化规律的一个重要数学模型，感悟函数的思想，提升对函数本质的感悟，使学生的思维上升到一个新高度.

评析：数学思维的呈现形式常常是隐蔽的，难以从教材中获取.教师应在教学中有目的、有意识地进行思维方法的渗透．通过类比思维，设不同的变量，建立不同的函数，暴露利用三个不同函数解决同一问题的思维，使思维得到不同层次的训练，不同的学生得到不同的发展.

7.提炼类比思想，感悟学习方式

环节4：反思提升.

问题12：本节课中，你学到了什么？

小组合作，将本节课学到的内容整理成知识结构图，画在草稿纸上，然后上台展示、分享.之后，教师出示自己设计的知识结构图，供学生借鉴.

图3

设计意图：让学生通过合作交流的方式养成回忆、总结、归纳的好习惯，便于学生及时将新知识纳入已有的知识系统，加深对概念的理解与思维的升华.通过课堂小结揭示了贯穿知识导图的暗线——类比思想，让学生再次感悟类比学习的方式.

8.运用类比思想，创新作业设计

环节5：课外延伸.

（1）课本第90～91页练习第2、3题.

（2）探究：类比正比例函数的学习内容，列举一到两个一次函数的实例，给出它们的解析式并画出函数图像，探究函数的性质，下节课以小组为单位展示你们探究的成果.

设计意图：授人以鱼不如授人以渔.通过基础题训练，巩固、理解概念，使学生学会运用类比思想，设计探究性问题，让学生通过类比方法，探究一次函数的图像与性质，培养学生自主学习的意识与能力，使学生会学.

二、课例反思

本课以类比教学为主要学习方法，从正比例函数的知识结构类比出一次函数的知识结构，明确学习内容与方向；从正比例函数的定义方式类比出一次函数的定义方式，明确定义的方法；从正比例函数解析式的形式类比一次函数解析式的形式，明确定义式的结构；在课堂小结中提炼类比思想，完善知识结构；在课外延伸中运用类比思想，创新作业设计，指导课外学习，整节课利用类比引导学生自然、合理地思考与探究.

1.类比教学有利于激发学生的求知欲

波利亚说：“类比是获得发现的伟大源泉.”在教学过程中，借助类比的思想方法，从已有知识出发，联系新知识，此时学生的自信心大增，唤起了学生自主探究新知、发现新知的欲望；探究中学生又感受到发现数学奥秘的乐趣与成功感，较大地激发了学生的学习情感，可谓情生智、智激情、情智相生，由此可知“类比教学是激发学生求知欲的一剂良方”.

2.类比教学有利于促进学生自主探究

波利亚曾说：“新课题的解决是通过与已知课题类比实现的.”新课程标准倡导自主探究、自主构建的学习方式.类比教学立足最近发展区，通过旧知，在类比中同化新知，并纳入认知结构，在潜移默化中融入自主探究的学习方式.本课通过正比例函数的知识内容、定义方式类比出一次函数的学习内容、定义方式，为学生营造自主探究的学习场域，让学生经历了新知发现和自主构建的过程，感悟了研究问题的基本方法，所以说类比是引导学生实现自主合作探究的有效途径.

3.类比教学有利于形成有意义的学习

知识结构化是达成有意义学习的主要方式，采用知识结构类比教学更有利于有意义的学习.本课中以正比例函数的知识结构类比出一次函数的知识结构，使学生明确了一次函数的学习内容与方法，同时揭示了函数学习的结构，为今后学习二次函数、反比例函数明确方向并提供经验.类比教学有利于知识的整体构建，适用于单元结构教学.

4.类比教学有利于学生核心素养的培养

类比是数学研究与数学发现中常用的逻辑思维方法.课堂上，若能让学生在问题的探究过程中用类比方法去感悟和理解教学内容，学生既能掌握知识本身，又能积累数学活动经验，更有利于培养学生的逻辑推理素养与系统结构抽象素养.本节课中，知识结构的类比，培养学生的预判、猜想等合情推理能力、抽象思维能力；方法的类比，培养迁移、归纳的能力；思维方式的类比，暴露了思维的痕迹，积累了数学活动经验，所以说类比教学有利于核心素养的培养.

“类比是一个伟大的引路人.”用类比引导学生自然、合理地思考，激发了学生的潜能，促进了学生自主合作探究的学习，构建了富有生命与思维的课堂，这应是教师们所追求的课堂.