兼顾基础与能力，关注素养与发展——谈一道中考模拟试题的命制与思考

☉浙江师范大学附属嘉善实验学校 陈世文

2018年11月，笔者参加了本县九年级素养测试数学试卷的命制工作，其中最后一道压轴题在二次函数表达式中引入参数，抓住“变”中“不变”的量来设计问题，层层推进，其中既有学生熟悉的味道，又有些变化与新意，既重视基础与能力，又关注学生的素养与发展，受到教师和考生的一致好评.现将本题的命制过程呈现如下，与同行交流分享.

一、原题呈现

图1

（1）求证：点M在直线AB上.

（2）设抛物线与直线AB的另一交点为点N，在平面内找一点P，使四边形OMPN为平行四边形.

①当点P在抛物线上时，求点P的坐标.

②▱OMPN的面积是否为定值？若是，请求出它的面积；若不是，请说明理由.

二、试题解析

②如图2，作MC//x轴，NC//y轴，两者相交于点C.

图2

三、命制过程

1.命题立意

本题作为整张试卷的压轴题，根据双向细目表和试卷的整体布局，需编制一道综合性强、区分度高的试题，要融合初中代数与几何领域的核心知识，如函数、方程、（特殊）平行四边形、相似三角形等知识，同时注重能力的考查，关注学生的核心素养与持续发展.

2.素材选择

素材：已知点M为二次函数y=-（x-b）2+4b+1图像的顶点，直线y=mx+5分别交x轴的正半轴、y轴于点A、B.

（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由.

（2）如图3，若二次函数的图像也经过点A、B，且mx+5＞-（xb）2+4b+1，根据图像，写出x的取值范围.

图3

本题为2018年嘉兴市中考试题，该题在二次函数表达式中引入参数，给人眼前一亮的感觉，也让整个题目显得鲜活灵动许多，特别是第（3）问需要学生抓住“变”中蕴含着的“不变”的量作为解题的突破口，深刻考查学生的思维和能力，给试题增色不少！这给了笔者极大的启示，于是也想命制一道类似的含参数的二次函数综合试题，抓住“变”中“不变”的量来作“文章”，既考查学生的基础与能力，又关注学生的素养与发展，以期与近几年中考接轨，也与本次素养测试理念相符.

图4

3.尝试编题

图5

（1）求证：点M在直线l上.

（2）设抛物线与直线l的另一交点为点N，求MN的长.

（3）在抛物线上是否存在点P，使O、M、N、P四个点构成平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：笔者在二次函数的表达式中引入参数，在用几何画板探究过程中发现，当其顶点运动成一条直线时，若把这条直线画出来，则它被抛物线截得的线段长是一个定值，于是笔者抓住这点来设计第（1）、（2）、（3）问，基本体现当初的预想与规划.但在磨题过程中，有老师提出两点意见：①三个小问的梯度太小，特别是第（2）问求MN的长，为第（3）问求平行四边形的面积做好了铺垫，指向性太强，作为整张试卷的压轴题，其思维跨度不够大，区分度不够高；②第（3）问把点P固定在抛物线上求P点的坐标和平行四边形的面积，对学生的思维考查深度不够，也让整个题目缺少灵动感，亮点不足.

（1）求M、N两点的坐标（用含b的代数式表示）.

图6

（2）在平面内找一点P，使四边形OMPN为平行四边形.

①当点P在抛物线上时，求点P的坐标.

②▱OMPN的面积是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.

分析：第2稿针对初稿中的问题进行了修改.第（1）问直接求两个交点的坐标，难度提高了很多，但为了稍微降低计算难度，对题干中二次函数表达式的呈现方式进行了修改.第（2）问改为“在平面内找一点P，使四边形OMPN为平行四边形”，然后分解成两小问，第①问属于比较经典、常规的压轴题，第②问直接问“▱OMPN的面积是否为定值”，由于点P为平面内一点，对学生的思维要求更高，需要学生发现“变”中“不变”的一些量，也让整个题目显得灵活、深刻许多，在磨题研讨时，我们感觉第（2）问这样设计很好，但第（1）问难度有点儿大，很多学生可能这题1分都拿不到，起点需要再低点，于是综合初稿和第2稿形成第3稿.

（1）求证：点M在直线l上.

（2）设抛物线与直线l的另一交点为点N，在平面内找一点P，使四边形OMPN为平行四边形.

①当点P在抛物线上时，求点P的坐标.

②▱OMPN的面积是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.

图7

分析：经过3轮修改，已经很好地体现了命题意图，感觉很完美了.但在具体解答过程中发现数据设计非常不好，在求点P的坐标的过程中，b的值就出现了无理数，导致根本无法计算出点P的坐标，于是要对数据进行重新设计.如何修改数据呢？由于涉及太多变量，命题组尝试了好久都没找到合适的数据，最后笔者仅仅修改了二次函数的系数a，即设抛物线y=a（x-b）2-b+3，然后联立直线与抛物线的解析式表示出点化简得：4ab2-3b-12=0，Δ=9+192a.欲使此方程易解，则Δ必须为一个完全平方数，笔者尝试发现，既要使Δ为完全平方数，又要函数图像比较美观，此时a=比较合适.又由于在求MN的过程中，需要构造出一个三角形与直线l和坐标轴所围成的三角形相似，于是把直线l与坐标轴的两个交点也给出，便于学生后续解答书写，同时对题目的表述又做了些修改，从而形成终稿.

四、命题思考

1.对试题的思考

本题作为整张试卷的压轴题，表述简洁明了，第（1）问判断点M是否在直线上，只需求出点M的坐标，然后看它是否满足直线的表达式即可，起点较低但又富有一些变化（如点M的坐标含有参数）.第（2）问①探究平行四边形的存在性问题，是近几年比较经典、常见的压轴题，主要考查学生的分类思想与数形结合思想，但含有参数的运算对学生来说是一个难点，也是一个挑战.第（2）问②“平行四边形的面积是否是一个定值”，需要学生洞悉在这个变化过程中一些不变的量——MN的长及点O到直线AB的距离，然后将平行四边形的面积转化为△OMN的面积，从而顺利求解，主要考查相似的知识和构造、转化的思想方法.三道小题衔接自然又富有梯度，起点较低，学生容易上手，但又有些变化与新意，富有挑战.二次函数表达式中的参数引入让整个题目鲜活灵动，是一个难点，也是以后高中学习的核心点，对学生的运算能力、抽象思维、几何直观等要求较高，具有较好的区分度和效度.

2.对教学的启示

纵观整道试题，既重视基础与能力，又关注学生的素养与发展.因此在平时的教学中，我们首先要夯实学生的基础，要注意基础知识、基本技能的落实，因为不管是整张试卷还是所谓的“压轴题”，其基础还是占大部分的.如本题第（1）问“判断点M是否在直线上”，第（2）问“求点P的坐标”.落实基础知识和基本技能，不意味着反复训练，而是要求教师重视教材和典型例题的使用和挖掘，注重变式与通性通法的教学，而不要舍“本”逐“末”，一味追求“快”“难”“多”，搞“题海战”.其次要重视过程与方法的教学，要重视思维的培养和核心素养的提升.在日常教学中，很多教师为赶进度将数学知识灌输给学生或进行伪探究草草收场，注重结论的使用技巧而忽略知识的形成过程；在复习教学时，把数学复习等同于做题目，但在讲题时没有展示解题思路是如何形成的，解决方法是如何构想的，这样的教学使得学生以操练经验代替理性思考，善于模仿而不善于思考，一遇到陌生问题就一筹莫展，数学思维能力得不到实质性提高.因此在平时教学时要处理好过程与结果、知识与方法之间的关系，要重视基本思想方法和基本活动经验的积累，它是落实六大核心素养“数学抽象、逻辑推理、数学运算、几何直观、数学建模、数据处理”的基础和保证，是培养学生思维深刻性和灵活性的必要手段.